剑指offer-数值的整数次方

题目描述

• 给定一个double类型的浮点数base和int类型的整数exponent。求base的exponent次方。
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解决方法

• 这是一道极其经典的位运算题目
• 首先，这是一个有很多特殊情况的题：
  
  • 指数为0时，直接返回1
  • 底为0，但是指数为负数时，发生除0异常，指数为正数时，返回0；
  • 其他情况（使用以下三种方法）
• 方法1：判断完边界条件后，直接循环，若指数绝对值大小为 n ,那么该方法时间复杂度为 O(n)

• 方法2 ： 利用快速幂的思想，例如 求 3^11, 那么指数 11 的二进制为 1011 ，对于 1011 ，从右到左，每一位分别对应着 1, 2, 4, 8.而 3^11 = 3^(1011) = 3^(1000 + 0010 + 0001)= 3^8 * 3^2 + 3^1。所以我们可以这样看，1011从右到左依次对应着 3，3^2, 3^4, 3^8，这是一种翻倍的关系。
  所以，只要我们对指数的二进制逐位得到每一位数字，看当前位是1还是0，若是1，则累乘进res,并在每一次逐位的过程中完成翻倍，3，3^2, 3^4, 3^8。
  那么如何逐位得到二进制的每一位数字呢？ 利用 左移>> 与 & ，&1 可以得到最低位的值，然后 将当前数字 >> 可以得到 下一位值上的数，直至变为0。

  时间复杂度： O(log N)

• 方法3： 递归。3^11 = 3^5 * 3^5 3 3^10 = 3^5 3^5. 所以首先判断指数的奇偶性

  • 若为奇数：f(base, exp) = f(base, exp > >1) * f(base, exp > >1) * base
  • 若为偶数：f(base, exp) = f(base, exp > >1) * f(base, exp >> 1)

  时间复杂度：O(log N)

经验教训

• 快速幂的使用
• 如何利用 >> 与 &1 得到一个数二进制形式的每一位
• 大于等于1中的任何一个数都可由 1，2，4，8，16，32….组合相加得到，那么由此可知，若想加出奇数，必须使用1，一旦使用1，该奇数的二进制末位一定是 1 。所以可以用 n & 1 != 0 来判断 n 的奇偶性。 注意 ，用 n % 2 != 0来判断奇偶时，后面必须是 != 0，不能是 ！= 1,因为负数时，比如 -1，余数是 -1，但是仍然是奇数。
• n >> 1达到除以2的效果，当然，这是针对于正数，负数会带符号右移
• 计算 2^n ,便是 1 << n，其他可用快速幂求解。
• 代码必须经常看，这是一道位运算非常经典的题目

代码实现：

• 方法2：

    public double Power(double base, int exponent) {
        //指数为0
        if (exponent == 0) {
            return 1.0;
        }
        if (base - 0.0 == 0.00001 || base - 0.0 == -0.00001)  {
            //底为0，指数为负数
            if (exponent < 0) {
                throw new RuntimeException("除0异常"); 
            }else{ //底为0，指数为正数
                return 0.0;
            }
        }
        //先按正指数算
        int e = exponent > 0 ? exponent: -exponent;
        double res = 1;
        //快速幂
        while (e != 0) {
            //根据当前位是1还是0决定累乘还是不累乘
            res = (e & 1) != 0 ? res * base : res;
            //翻倍
            base *= base;
            //右移，迭代
            e = e >> 1;
        }
        //根据指数正负，返回
        return exponent > 0 ? res : 1/res;
  }

• 方法3：

    public double Power(double base, int exponent) {
        if (exponent == 0) {
            return 1.0;
        }
        if (base - 0.0 == 0.00001 || base - 0.0 == -0.00001 )  {
            if (exponent < 0) {
                throw new RuntimeException("除0异常"); 
            }else{
                return 0.0;
            }
        }
        return exponent > 0 ? getPower(base, exponent) : 1/getPower(base, -exponent);
    }

    //传入的e肯定是正数
    public static double getPower(double base, int e) {
        //base case
        if (e == 1) {
            return base;
        }
        //递归计算 f(base,e >> 1)
        double halfPower = getPower(base, e >> 1);
        //根据指数的奇偶计算 f(base,e)
        return (e & 1) != 0 ? base * halfPower * halfPower : halfPower * halfPower;
    }