递归de经典

题目如下

任何正整数n都可以写成n=n1+n2+n3+……+nk；1<=n1,n2,n3,……nk<=n;这被称为整数n的划分。

例如

1.正整数3的划分如下：

3；

2+1；

1+1+1；

2.正整数6的划分如下：

6； 
5+1； 
4+2，4+1+1； 
3+3，3+2+1，3+1+1+1； 
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 
1+1+1+1+1+1。

结题目标：

设计一个函数，求出n的划分个数。

首先在拿到题目的时候，我们就应该可以知道：n的m划分是个什么意思，也就是说划分必须满足：1<=n1,n2,n3,……nk<=m；这时我们就可以进行递归的分析了，对于所求未知数n的划分就是求f（n，n）；

所以就会有下面的几种情况；

1.当n=1或m=1时，都只有一种划分；

2.当n=m时（不包含1），

   划分中含有m时，有一种划分；

   划分中不含m时，有f（n，m-1）中划分；

  总而言之：f（n，m）=1+f（n，m-1）；

4.当n>m时，

   划分中含有m时，即划分的形式是{m，{x1, x2, ..., xi}}，则{x1, x2, ..., xi}个数为f（n-m，m）；

   划分中不含m时，即划分中的数都比m小，则划分个数为f（n，m-1）；

   总而言之：f（n，m） =  f（n-m，m）+f（n，m-1）；

5.最后一个情况，当n<m时，f（n，m）= f（n，n）；

所以总结下来就只有这几个总的情况；

 f(n, m) =             1;                                         ( n = 1 or m = 1 )

                            f(n, n);                                 ( n < m )

                            1+ f(n, m - 1);                      ( n = m )

                            f(n - m, m) + f(n, m - 1);       ( n > m )

 

其实在拿到这个题目的时候，大家就应该可以想到这个思维方式--分类讨论--这可能也是这份递归为什么能成为经典例题的一个原因吧。其实这题并不能很明显的找到缩小问题规模的入口，反而让你引入了一个过渡的变量，而且如果是按照之前一贯的思维，就可能陷入一个死循环，导致最终不能及时AC，所以，他也提醒我们在拿到题目的时候不要局限于一种两种考虑方式，可以多去尝试，大胆地用自己的想到的方法，可能下一个最快AC就来自你的小脑瓜。

 jsj201 zhong