BZOJ 4596 [Shoi2016]黑暗前的幻想乡

最新推荐文章于 2019-07-15 23:16:42 发布

Endless_Way

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分类专栏：数学-容斥原理图论-矩阵树定理文章标签： BZOJ-4596

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ziqian2000/article/details/69750417

数学-容斥原理同时被 2 个专栏收录

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图论-矩阵树定理

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本文介绍了一个结合矩阵树定理与容斥原理解决生成树计数问题的方法。该问题要求每个公司在图中恰好选择一条边，通过考虑不存在某些公司的特殊情况来简化问题，并使用特定算法实现计数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

容斥原理+矩阵树定理

要求每一个公司都恰好选一条边出来，计数生成树。不太好做，考虑这个问题的反面，即存在一些公司选了多条边出来，然而这样也不太好做。这个反面等价于有一些公司没选，就好做了。

话说我也不知道为什么 $O(2^n*17^3)$ 能过。

~~怎么优快云又抽风了~~

#include<cstdio> 
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define mkp(_i, _j) make_pair(_i, _j)
#define N 20
#define MOD 1000000007
using namespace std;
namespace runzhe2000
{
    typedef long long ll;
    int n, cnt[N], f[N][N], ans;
    pair<int,int> q[N][N*N];
    int fpow(int a, int b)
    {
        int r = 1;
        for(; b; b>>=1)
        {
            if(b&1) r=(ll)r*a%MOD;
            a=(ll)a*a%MOD; 
        }
        return r;
    }
    int calc()
    {
        int p = 1;
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            if(!f[i][i]) return 0;
            for(int j = i+1; j < n; j++)
            {
                int base = (ll) f[j][i] * fpow(f[i][i], MOD-2) % MOD;
                for(int k = i; k < n; k++)
                    (f[j][k] -= (ll) f[i][k] * base % MOD) %= MOD;
            }
            p = (ll)p*f[i][i] % MOD;
        }
        return (p+MOD)%MOD;
    }
    void main()
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            scanf("%d",&cnt[i]);
            for(int j = 1; j <= cnt[i]; j++)
            {
                int a, b; scanf("%d%d",&a,&b);
                q[i][j] = mkp(a, b);
            }
        }
        for(int i = 0, ii = 1<<(n-1); i < ii; i++)
        {
            memset(f, 0, sizeof(f));
            for(int j = 1; j < n; j++) if((i>>(j-1)) & 1) 
            {
                for(int k = 1; k <= cnt[j]; k++)
                {
                    int x = q[j][k].first, y = q[j][k].second;
                    f[x][x]++; f[y][y]++; f[x][y]--; f[y][x]--; 
                }
            }
            (ans += (((n - __builtin_popcount(i)) & 1) ? 1 : -1) * calc()) %= MOD;
        } 
        printf("%d\n",(ans+MOD)%MOD);
    }
}
int main()
{
    runzhe2000::main();
}