傅里叶变换（DFT）从原理到代码

离散傅里叶变换（DFT）

一、傅里叶变换公式

1. 连续傅里叶变换
   连续傅里叶变换是使用一对正交基$cos\omega t$和$sin\omega t$对时域序列进行“探测”（求时域序列与正交基的相关性），筛选出与原时域序列相关的正交基，即为原时域序列的频域序列。连续傅里叶变换公式如下：
   $$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$$
2. 离散傅里叶变换
   离散傅里叶变换（DFT）方法，是以频率$f_s$对输入信号对输入信号进行等间隔采样n次后，对这n个离散点进行DFT处理得到n个复数，每个复数表示以$f_s/n$为间隔的频率成分的幅度和相位信息，即获得输入信号的频谱信息。
   对于一个长度为N的时域离散序列$x(n)$，DFT变换结果为$X(k)$，则：
   X ( k ) = D F T { x ( n ) } = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) × e − j 2 π N n k , k = 0 , 1 , 2 , . . . , N − 1 X(k)=DFT\{ x(n)\} = \frac{1}{N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n) \times {e^{ - j\frac{ {2\pi }}{N}nk}}} ,k = 0,1,2,...,N - 1 X(k)=DFT{ x(n)}=N1​n=0∑N−1​x(n)×e−jN2π​nk,k=0,1,2,...,N−1
   转换为矩阵形式：
   D F T { x ( n ) } = 1 N [ 1 1 1 ⋯ 1 1 e − j 2 π N × 1 e − j 2 π N × 2 ⋯ e − j 2 π N × ( N − 1 ) 1 e − j 2 π N × 2 × 1 e − j 2 π N × 2 × 2 ⋯ e − j 2 π N × 2 × ( N − 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 e − j 2 π N × ( N − 1 ) × 1 e − j 2 π N × ( N − 1 ) × 2 ⋯ e − j 2 π N × ( N − 1 ) 2 ] [ x ( 0 ) x ( 1 ) x ( 2 ) ⋮ x ( N − 1 ) ] DFT\{ x(n) \}=\frac{1}{N} \begin{bmatrix} 1&1&1& \cdots &1\\ 1&{ { {\rm{e}}^{ - j\frac{ {2\pi }}{N} \times 1}}}&{ { {\rm{e}}^{ - j\frac{ {2\pi }}{N} \times 2}}}& \cdots &{ { {\rm{e}}^{ - j\frac{ {2\pi }}{N} \times (N - 1)}}}\\ 1&{ { {\rm{e}}^{ - j\frac{ {2\pi }}{N} \times 2 \times 1}}}&{ { {\rm{e}}^{ - j\frac{ {2\pi }}{N} \times 2 \times 2}}}& \cdots &{ { {\rm{e}}^{ - j\frac{ {2\pi }}{N} \times 2 \times (N - 1)}}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1&{ { {\rm{e}}^{ - j\frac{ {2\pi }}{N} \times (N - 1) \times 1}}}&{ { {\rm{e}}^{ - j\frac{ {2\pi }}{N} \times (N - 1) \times 2}}}& \cdots &{ { {\rm{e}}^{ - j\frac{ {2\pi }}{N} \times { {(N - 1)}^2}}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x(0)}\\ {x(1)}\\ {x(2)}\\ \vdots \\ {x(N - 1)} \end{bmatrix} DFT{ x(n)}=N1​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​111⋮1​1e−jN2π​×1e−j