Educational Codeforces Round 16 E. Generate a String （dp）

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E. Generate a String

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题意

需要你得到一个长度为n的由a字符组成的串，起初串为空，添加/删除一个a字符消耗为x，将目前的序列长度翻倍的消耗为y，求长度为n时的最小消耗。

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思路

起初串为空，得到长度为1的串，最小消耗一定是x。
对2~n的长度，如果k为奇数，则d[k] = min(d[k-1] + x, d[(k+1)/2 + x + y])，如果k为偶数，则d[k] = min(d[k-1] + x, d[k/2] + y)。
另外注意一下范围，要用long long。

感觉上这样的确是对的，但是证明不了。试证过好几次，觉得有一种“是先有鸡还是先有蛋”的感觉。如果有谁能给出证明还请告知。

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代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long lint;
#define maxn (10000010)
lint d[maxn];
int main()
{
    int n, x, y;
    cin >> n >> x >> y;
    d[1] = x;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        d[i] = d[i - 1] + x;
        if(i % 2) d[i] = min(d[i], d[(i + 1) / 2] + x + y);
        else d[i] = min(d[i], d[i / 2] + y);
    }
    cout << d[n] << endl;
    return 0;
}