Educational Codeforces Round 16 C. Magic Odd Square （构造）

最新推荐文章于 2024-12-23 12:12:04 发布

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#acm #codeforces #square #构造

本文探讨如何构造一个n*n的奇数阶魔方阵，使得每行、每列及主对角线上的数之和均为奇数。通过巧妙地分配1至n^2的整数，确保了奇数个数的正确分布。提供了两种构造方案，并附带实现代码。

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C. Magic Odd Square

题意

构造一个n*n的矩阵，n为奇数，矩阵中的每个数都是1到n^2中的一个且不能重复，使得这个矩阵的每一行，每一列还有主对角线中数的和均为奇数。

思路

首先想到的是如果每一行/列中奇数个数为奇数，那么该行/列满足要求，所以要在个数上做文章。1到n^2中几乎一半为奇一半为偶数，奇数只比偶数多一个，我们要想办法把矩阵染色成黑白块，使得每行/列和主对角线的数均为奇数即可。
感觉构造体也讲不出什么方法来，需要自己慢慢尝试和分析。下面给出两种构造。

第一种构造：

0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 0
0 0 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0

这种是别人的构造，挺优雅的，想法可能是对称图形吧。

第二种构造：

0 1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0

其实就是一圈一圈向外构造的，最中间的是奇数，之后每圈都是奇数偶数交错出现，规律也很直观。

代码

这里只给出了第一种构造方法，第二种相比起来编码上有点复杂。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int g[3000][3000];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    for(int i = 1; i <= n / 2 + 1; i++)
    {
        for(int j = (n - (i*2-1))/2 + 1; j <= (n + i*2-1)/2; j++)
        {
            g[i][j] = 1;
        }
    }
    for(int i = n; i >= n / 2; i--)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            g[i][j] = g[n - i + 1][j];
        }
    }
    int cnt = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(g[i][j]) { g[i][j] = cnt; cnt += 2; }
        }
    }
    cnt = 2;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(!g[i][j]) { g[i][j] = cnt; cnt += 2; }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(j > 1) putchar(' ');
            printf("%d", g[i][j]);
        }
        putchar('\n');
    }

    return 0;
}