Educational Codeforces Round 16 C. Magic Odd Square (构造)

本文探讨如何构造一个n*n的奇数阶魔方阵,使得每行、每列及主对角线上的数之和均为奇数。通过巧妙地分配1至n^2的整数,确保了奇数个数的正确分布。提供了两种构造方案,并附带实现代码。

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C. Magic Odd Square


题意

构造一个n*n的矩阵,n为奇数,矩阵中的每个数都是1到n^2中的一个且不能重复,使得这个矩阵的每一行,每一列还有主对角线中数的和均为奇数。


思路

首先想到的是如果每一行/列中奇数个数为奇数,那么该行/列满足要求,所以要在个数上做文章。1到n^2中几乎一半为奇一半为偶数,奇数只比偶数多一个,我们要想办法把矩阵染色成黑白块,使得每行/列和主对角线的数均为奇数即可。
感觉构造体也讲不出什么方法来,需要自己慢慢尝试和分析。下面给出两种构造。

第一种构造:

0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 0
0 0 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0

这种是别人的构造,挺优雅的,想法可能是对称图形吧。

第二种构造:

0 1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0

其实就是一圈一圈向外构造的,最中间的是奇数,之后每圈都是奇数偶数交错出现,规律也很直观。


代码

这里只给出了第一种构造方法,第二种相比起来编码上有点复杂。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int g[3000][3000];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    for(int i = 1; i <= n / 2 + 1; i++)
    {
        for(int j = (n - (i*2-1))/2 + 1; j <= (n + i*2-1)/2; j++)
        {
            g[i][j] = 1;
        }
    }
    for(int i = n; i >= n / 2; i--)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            g[i][j] = g[n - i + 1][j];
        }
    }
    int cnt = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(g[i][j]) { g[i][j] = cnt; cnt += 2; }
        }
    }
    cnt = 2;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(!g[i][j]) { g[i][j] = cnt; cnt += 2; }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(j > 1) putchar(' ');
            printf("%d", g[i][j]);
        }
        putchar('\n');
    }

    return 0;
}
### Codeforces Round 927 Div. 3 比赛详情 Codeforces一个面向全球程序员的比赛平台,定期举办不同级别的编程竞赛。Div. 3系列比赛专为评级较低的选手设计,旨在提供更简单的问题让新手能够参与并提升技能[^1]。 #### 参赛规则概述 这类赛事通常允许单人参加,在规定时间内解决尽可能多的问题来获得分数。评分机制基于解决问题的速度以及提交答案的成功率。比赛中可能会有预测试案例用于即时反馈,而最终得分取决于系统测试的结果。此外,还存在反作弊措施以确保公平竞争环境。 ### 题目解析:Moving Platforms (G) 在这道题中,给定一系列移动平台的位置和速度向量,询问某时刻这些平台是否会形成一条连续路径使得可以从最左端到达最右端。此问题涉及到几何学中的线段交集判断和平面直角坐标系内的相对运动分析。 为了处理这个问题,可以采用如下方法: - **输入数据结构化**:读取所有平台的数据,并将其存储在一个合适的数据结构里以便后续操作。 - **时间轴离散化**:考虑到浮点数精度误差可能导致计算错误,应该把整个过程划分成若干个小的时间间隔来进行模拟仿真。 - **碰撞检测算法实现**:编写函数用来判定任意两个矩形之间是否存在重叠区域;当发现新的连接关系时更新可达性矩阵。 - **连通分量查找技术应用**:利用图论知识快速求解当前状态下哪些节点属于同一个集合内——即能否通过其他成员间接相连。 最后输出结果前记得考虑边界条件! ```cpp // 假设已经定义好了必要的类和辅助功能... bool canReachEnd(vector<Platform>& platforms, double endTime){ // 初始化工作... for(double currentTime = startTime; currentTime <= endTime ;currentTime += deltaT){ updatePositions(platforms, currentTime); buildAdjacencyMatrix(platforms); if(isConnected(startNode,endNode)){ return true; } } return false; } ```
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