BC13 1003 Find Sequence

最新推荐文章于 2022-04-22 18:04:56 发布

原创最新推荐文章于 2022-04-22 18:04:56 发布 · 486 阅读

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本文探讨了在给定条件下寻找最长子序列的问题，并通过优化动态规划算法将复杂度从O(x^3)降低到O(x^2)，有效解决了大规模数据下的计算效率问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给一串数a[]，这一串数的和是确定的，为M（M<=4194304）

从a[]数组中选t个数重新组成新的数组c[]，使得任意c[i+1]-c[i]>=c[i]-c[i-1];

且对于每个a[k]不能重复选择(1<=k<=n)。

题解：

首先考虑解的结构一定是C1,C1,…,C1,C2,C3,…,Cm这种形式，其中满足C1<C2<C3<…<Cm
所以对a1,a2,a3,…,an去重后从小到大排序得到c1,c2,c3,…,cx其中x是sqrt(M)级别的，用DP[i][j]表示以ci和cj结尾的满足条件的最长序列
首先初值化 DP[i][i]=count(ci) 即ci在原序列中的个数。
而dp[i][j]=max(dp[k][i] 其中k≤i还满足ci−ck≤cj−ci)+1
这样的复杂度是 O(x^3),在题中x最大为1000级别所以会超时，要使用下面优化
因为 dp[i][j]=max(dp[k][i] 其中k≤i还满足ci−ck≤cj−ci)+1
dp[i][j+1]=max(dp[k][i] 其中k≤i还满足ci−ck≤cj+1−ci)+1
注意到cj+1>cj 所以满足ci−ck≤cj−ci的dp[k][i]必然满足ci−ck≤cj+1−ci因而不必重复计算
即最后复杂度可以为O(x^2).

代码：

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define M 3000
#include<map>
using namespace std;
typedef __int64 LL;
int dp[M+5][M+5]; // 以a[i],a[j]结尾的数列 的最大长度
int a[M*M+5];
map<int ,int >mymap;
int main()
{
    int T,n,m;
    int cnt,ans;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        mymap.clear();
        for(int i=0;i<n;i++)
            {
                scanf("%d",a+i);
                mymap[a[i]]++;
            }
        sort(a,a+n);
        n=unique(a,a+n)-a; //去重

        ans=1;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int k=i;  //  ①
            dp[i][i]=mymap[a[i]];
            cnt=dp[i][i];
            ans=max(cnt,ans);
            for(int j=i+1;j<n;j++)
            {
                for(;k>=0 && a[i]-a[k]<=a[j]-a[i];k--) //②    ①②③实现了红字的优化
                    cnt=max(cnt,dp[k][i]+1);
                dp[i][j]=cnt;    // ③
                ans=max(cnt,ans);
            }

           // printf("i=%d ans=%d\n",i,ans);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }

    return 0;
}