USACO Section 1.3.4 Prime Cryptarithm

本文介绍了一种解决Crypt1程序题的新思路,通过遍历所有可能的乘法算式来找出符合特定数字集合的解。文章提供了一段C++代码实现,并详细解释了如何判断一个数是否完全由给定的数字组成。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

这道题很容易想成全排列的问题,那就会变得非常麻烦,而且难以解决

我们可以换一种思路,从算式出发,那么那个算式无非就100000中情况,我们只要找到符合给定要求的种类就行了

那就变得很简单了,注意这个算式有很多的隐藏条件,需要你去发现下面给出代码


/*
ID: zhuihun1
PROG: crypt1
LANG: C++
*/
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include<algorithm>
#define MAXSIZE 5005
using namespace std;
ofstream fout ("crypt1.out");
ifstream fin ("crypt1.in");

char digtal[10];
int n;
bool if_exit(int  num)
{
    string s="";
    char c;
    while(num>0)
    {
        c='0'+num%10;
        s=c+s;
        num/=10;
    }
    int len=(int)s.length();
    int i,j;
    bool f;
    for(i=0;i<len;i++)
    {
        c=s[i];
        f=false;
        for(j=0;j<n;j++)
            if(c==digtal[j])
                f=true;
        if(!f)
            return false;
    }
    return true;

}
int main()
{
    int i,j,count_num=0;

    fin>>n;
    for(i=0;i<n;i++)
        fin>>digtal[i];
    int num=0,numG,numS;
    for(i=111;i<1000;i++)
    {
        for(j=11;j<100;j++)
        {
            numG=i*(j%10);
            numS=i*(j/10%10);
            num=i*j;
            if(numG>999||numS>999||num>9999)
                continue;
            if(!if_exit(numG)||!if_exit(numS)||!if_exit(num)||!if_exit(i)||!if_exit(j))
                continue;
            else
                count_num++;
        }
    }
    fout<<count_num<<endl;
    return 0;
}


<think>好的,我现在需要解决用户关于USACO训练题1.3.4回文平方的问题。用户希望得到解法或讨论,所以我得先仔细理解题目要求。 首先,题目要求找出1300之间的所有整数,这些整数的平方在转换为B进制后是回文数。B的范围是2到20。用户提供的引用中提到了进制转换和回文判断的方法,我需要结合这些信息来设计解决方案。 根据引用[2]和[3],关键步骤是将数值转换为B进制,并检查其平方是否为回文。引用[4]提到将数字转换为字符串形式更方便判断回文,这和常规的回文处理方法一致。那如何正确地进行进制转换呢? 进制转换部分,需要将十进制数转换为B进制,并且处理超过10的数字,比如用&#39;A&#39;代表10,&#39;B&#39;代表11,依此类推。例如,在B=16时,15应表示为&#39;F&#39;。这一步需要编写一个转换函数,将十进制数逐次除以B,记录余数,并将余数转换为对应的字符。 接下来是回文判断。引用[1]中的方法是将转换后的数组反转,然后逐个比较每一位是否相同。如果在反转后所有位都匹配,则是回文。这种方法的时间复杂度是O(n),对于数值范围来说完全足够。 现在需要考虑的是整个算法的流程。首先遍历1300的每个数i,计算i的平方,然后将平方数转换为B进制,再检查是否是回文。如果是,就输出i的B进制表示和其平方的B进制表示。 需要注意的细节包括: 1. 转换后的数字顺序是否正确,例如在转换过程中,余数是从低位到高位得到的,所以需要反转结果数组才能得到正确的顺序。 2. 处理大写的字母表示,当余数>=10时,要转换成相应的字母。 3. 输出格式要求,比如每个符合条件的数输出两行,分别是i的B进制形式和其平方的B进制形式,用空格隔开。 此外,测试边界情况,比如B=2时,数值较大,但转换后的字符串可能较长,回文判断需要准确。例如,i=1时,平方也是1,任何进制下都是回文。i=300时,平方是90000,转换成B进制后是否回文? 代码结构大致如下: 1. 主函数读取B的值。 2. 遍历i从1300: a. 计算i的平方。 b. 将i转换为B进制字符串。 c. 将平方转换为B进制字符串。 d. 检查平方字符串是否为回文,如果是,输出i和平方的B进制形式。 关于进制转换函数,需要处理0的情况,以及正确反转结果。例如,十进制数0在任何进制下都是0,但题目中i>=1,所以无需处理0。转换函数需要处理余数,并将余数转换为字符。 回文判断函数可以直接比较字符串和其反转后的字符串是否相同,这种方法简洁有效。 在代码实现中,需要注意字符串的大小写,题目中要求用大写字母,所以转换时余数>=10的话,要用&#39;A&#39; + (余数-10)来得到相应字符。 最后,根据引用中的示例代码,比如引用[1]中的回文判断方法,可以借鉴其反转数组并逐个比较的思路,但转换为字符串后可以直接使用语言内置的反转函数,比如Python中的[::-1]来反转字符串,然后比较是否相等。 总结步骤: 1. 编写十进制转B进制的函数,返回大写字符串。 2. 编写回文判断函数。 3. 遍历1-300,对每个数检查其平方的B进制是否为回文,满足则输出。 测试案例,比如当B=10时,所有平方数本身是否回文,比如121是回文,对应的i=11。这样可以验证程序的正确性。 可能遇到的错误包括进制转换时顺序错误,或者字符转换不正确,比如余数15在B=16时应转为&#39;F&#39;。另外,输出的i的进制形式是否正确,例如当i=27,B=16的话,27的16进制是1B,平方是729的16进制是2D9,不是回文,所以不会输出。 现在需要确保每个步骤都正确,并处理所有可能的边界情况。例如,当B=20时,最大的i是300,平方是90000,转换成20进制是11A00,反转后是00A11,显然不是回文。所以这样的i不会被选中。 综上,解决方案是可行的,接下来需要将思路转化为具体的代码,并验证其正确性。</think>### USACO 1.3.4 回文平方问题解析 #### **问题描述** 给定进制 $B$($2 \leq B \leq 20$),找出所有 $1 \leq N \leq 300$ 的整数,使得 $N^2$ 的 $B$ 进制表示为回文数,并输出 $N$ 和 $N^2$ 的 $B$ 进制形式[^2][^3]。 --- #### **解题思路** 1. **进制转换** 将十进制数转换为 $B$ 进制字符串。例如,十进制数 $255$ 转换为十六进制为 `FF`。注意: - 余数 $\geq 10$ 时用字母 `A`~`T` 表示(例如 $15$ 对应 `F`)。 - 转换后需反转结果(因余数从低位到高位生成)。 2. **回文判断** 直接比较字符串与其反转后的结果是否一致[^1][^4]。例如:`"121"` 反转后仍为 `"121"`,是回文。 3. **遍历与筛选** 遍历 $1$ 到 $300$ 的所有整数,计算平方并判断其 $B$ 进制是否为回文,符合条件则输出。 --- #### **代码实现** ```python def decimal_to_base(n, base): if n == 0: return &#39;0&#39; digits = [] while n > 0: remainder = n % base if remainder < 10: digits.append(str(remainder)) else: digits.append(chr(ord(&#39;A&#39;) + remainder - 10)) n = n // base return &#39;&#39;.join(reversed(digits)) def is_palindrome(s): return s == s[::-1] B = int(input()) for N in range(1, 301): square = N * N N_base = decimal_to_base(N, B) square_base = decimal_to_base(square, B) if is_palindrome(square_base): print(N_base, square_base) ``` --- #### **关键步骤解释** 1. **进制转换函数** - 通过循环取余生成每一位字符,最后反转得到正确顺序。 - 处理余数 $\geq 10$ 的情况,例如 $15 \rightarrow \text{&#39;F&#39;}$。 2. **回文判断优化** - 直接利用字符串反转(`s[::-1]`)简化比较逻辑。 3. **边界条件** - $N=1$ 时,平方为 $1$,任何进制下均为回文。 - $B=2$ 时,$300^2 = 90000$ 的二进制为 `10101111110000000`,非回文。 --- #### **示例输出** 当 $B=10$ 时,满足条件的数包括 $1, 2, 3, 11$(因为 $11^2 = 121$ 是回文),输出形式为: ``` 1 1 2 4 3 9 11 121 ``` ---
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