hdu5976 Detachment 逆元 优化

传送门
题意：给定一个数x，我们可以把这个数分解成一个一个的小的数字a1,a2,a3……
定义s=a1*a2*a3*…….
问如何分解x使得s最大，并且不能有重复的数字
思路：分解成数量多的小的数字，比分解成数量少的大的数字的乘积更大，这一点我不知道怎么证明……并且由基本不等式我们可以知道，相等和的两个数，越接近那么乘积越大
可想而知，如果可以有重复的数字，那我们可以把x分解成2和3的和即可，本题要求不能有重复的数字，原则是分解成更多小的数、更接近的数字，那么就可以2+3+4+…，但一般来说都不能正好分解完，会剩余一个数字，比如11=2+3+4+2，剩余了一个2，那我们把这个剩余的数字加到哪比较好呢，第一反应是直接加到最大的数字上，但仔细想想这样的话会扩大最后一个数与倒数第二个数的差，乘积可能会相对来说减少，所以我们要把这个数补在某个数上，使得补完后这个数接近之前的数群，比如11来说，我们把2补在3上，就变成了11=2+4+5，这样的乘积是比11=2+3+6的乘积大
如果我们定义可以分解成的最大的那个数为r，剩余的那个数为m，那么仔细想想就可以发现我们每次都可以把m补成r+1，除非m与r相等（因为前面没有1）
m=r的情况特判
m=r+1的情况也特判一下
其他情况就是r+1的前缀积除掉r+1-m，由于结果要对1e9+7取模，所以就是乘上r+1-m的逆元
两个需要优化的地方：前缀积要预处理一下，在找r时，用二分优化，求2，3，4……这个序列的前缀和，然后找x的位置，这里用了lower_bound函数

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
long long db[100001],db2[100001];
long long quick_mod(long long a,long long b)
{
    long long ret=1;
    while (b)
    {
        if (b&1)
            ret=(ret*a)%MOD;
        a=a*a%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    int w;
    int n,a,b,k,r;
    long long ans;
    db[2]=db2[2]=2;
    for (int i=3;i<=100000;i++)
    {
        db[i]=(db[i-1]*i)%MOD;
        db2[i]=db2[i-1]+i;
    }
    scanf("%d",&w);
    while (w--)
    {
        scanf("%d",&n);
        if (n<=4)
        {
            printf("%d\n",n);
            continue;
        }
        r=lower_bound(db2,db2+100000,n)-db2;
        if (db2[r]==n)
        {
            printf("%lld\n",db[r]);
            continue;
        }
        else if(db2[r]-n==1)
        {
            ans=db[r-1]*quick_mod(2,MOD-2)%MOD;
            ans=ans*(r+1)%MOD;
            printf("%lld\n",ans);
            continue;
        }
        n=n-db2[r-1];
        k=r-n;
        ans=db[r]*quick_mod(k,MOD-2)%MOD;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}