hdu5667 Sequence矩阵连乘

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本文针对HDU5667Sequence题目提供了解题思路与代码实现。通过观察序列规律，利用矩阵快速幂优化计算过程，并采用费马小定理降低幂次，最终实现了高效求解。

传送门：hdu5667 Sequence

题意就是根据求f(n)%p

思路：列了一下前几项，然后找了一下规律……

f(1)=(a^b)^0

f(2)=(a^b)^1

f(3)=(a^b)^(1+c*1+0)

f(4)=(a^b)^(1+c*(1+c)+1)

这样就很容易看出来幂次是有规律的，如果设幂次g(n)，那么g(1)=0,g(2)=1,g(3)=1+c*1+0,g(4)=1+c*(1+c)+1

g(n)=c*g(n-1)+g(n-2)+1

根据递推关系就可以构造矩阵啦

g(n) c 1 1 g(n-1) c 1 1 ^(n-2) g(2)

g(n-1) = 1 0 0 * g(n-2) = 1 0 0 * g(1)

1 0 0 1 1 0 0 1 1

但是如果这样计算，幂次会变得很大很大很大很大，所以要尽量降幂次

由于p给定了是一个素数，所以可以用公式a^n%p=a^(n%phi(p)+phi(p))%p

这样在计算g(n)的时候每次都对phi(p)取模再加上phi(p)就可以了

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3;
ll mod;
struct matrix
{
    ll p[N][N];
};
ll phi(ll a)
{
    ll ans=a;
    for(ll i=2;i*i<=a;i++)
    {
        if(a%i==0)
        {
            ans=ans-ans/i;
            while(a%i==0)
            {
                a/=i;
            }
        }
    }
    if(a>1)
    {
        ans=ans-ans/a;
    }
    return ans;
}
matrix matrix_mul(matrix a,matrix b)
{
    int i,j,k;
    matrix d;
    for(i=0; i<N; i++)
    {
        for(j=0; j<N; j++)
        {
            d.p[i][j]=0;
            for(k=0; k<N; k++)
            {
                d.p[i][j]+=(a.p[i][k]*b.p[k][j])%phi(mod)+phi(mod);
            }
            d.p[i][j]=d.p[i][j]%phi(mod)+phi(mod);
        }
    }
    return d;
}
matrix matrix_pow(ll c,ll b)
{

    matrix d= {1,0,0,
               0,1,0,
               0,0,1};
    matrix temp= {c,1,1,
                  1,0,0,
                  0,0,1};
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            d=matrix_mul(d,temp);
        }
        b>>=1;
        temp=matrix_mul(temp,temp);
    }
    return d;
}
ll quick_pow(ll a,ll b,ll m)
{
    ll d=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            d=d*a%m;
        }
        b>>=1;
        a=a*a%m;
    }
    return d;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll n,a,b,c;
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c,&mod);
        if(n==1) printf("1\n");
        else
        {
            matrix tmp=matrix_pow(c,n-2);
            ll pow=tmp.p[0][0]+tmp.p[0][2];
            pow=pow%phi(mod)*b%phi(mod)+phi(mod);
            a=a%mod;
            ll ans=quick_pow(a,pow,mod);
            printf("%lld\n",ans%mod);
        }
    }
    return 0;
}