1014 X^2 Mod P

本文介绍了一道关于X*XmodP=A的算法题,其中P为质数。通过枚举的方式寻找所有符合条件的X值,并给出了具体的C++实现代码。

1014 X^2 Mod P

基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 10 难度:2级算法题

X*X mod P = A,其中P为质数。给出P和A,求<=P的所有X。

Input
两个数P A,中间用空格隔开。(1 <= A < P <= 1000000, P为质数)

Output
输出符合条件的X,且0 <= X <= P,如果有多个,按照升序排列,中间用空
格隔开。

如果没有符合条件的X,输出:No Solution

Input示例
13 3

Output示例
4 9

#include<stdio.h>
#include<math.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll quickm(ll m,ll n,ll p)
{
    ll b=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        b=(b*m)%p;
        n=n>>1;
        m=(m*m)%p;
    }
    return b;
}
ll a,p;
int main()
{
    int flag=0;
    scanf("%lld %lld",&p,&a);
    for(int i=1;i<p;i++)
    {
        if(quickm(i,2,p)==a)
        {
            flag=1;
            printf("%d ",i);
        }else continue;

    }printf("\n");
    if(!flag)
    printf("No Solution\n");

    return 0;
} 
这道题目就不多解释了,枚举就OK了。2级涨分题目。
### 应用场景 - **Diffie - Hellman密钥交换**:这是该公式在密码学中最著名的应用之一。在Diffie - Hellman密钥交换协议里,通信双方可以在不安全的信道上安全地交换密钥。双方首先公开选择一个大素数 \(p\) 和一个原根 \(g\)。然后,一方选择一个随机的私有整数 \(x\),计算 \(y = g^x \mod p\) 并将 \(y\) 发送给另一方;另一方同样选择一个随机私有整数 \(z\),计算 \(w = g^z \mod p\) 并将 \(w\) 发送给对方。双方再分别计算 \(w^x \mod p\) 和 \(y^z \mod p\),最终得到相同的共享密钥,其数学基础就是离散对数难题,即已知 \(y = g^x \mod p\) 中的 \(y\)、\(g\) 和 \(p\),很难计算出 \(x\) [^2]。 - **数字签名算法**:一些数字签名算法也会用到基于离散对数的原理,例如ElGamal签名算法。在该算法中,签名过程涉及到对消息的哈希值以及一些基于 \(g^x \mod p\) 形式的计算,以确保消息的完整性和签名者的身份认证。 ### 计算方法 - **直接计算**:当 \(x\) 较小时,可以直接按照先计算 \(g^x\),再对 \(p\) 取模的顺序进行计算。例如,若 \(g = 2\),\(x = 3\),\(p = 5\),则先计算 \(2^3=8\),再计算 \(8 \mod 5 = 3\)。但当 \(x\) 非常大时,这种方法会导致计算量巨大,因为 \(g^x\) 可能是一个非常大的数。 - **快速幂算法**:为了提高计算效率,通常使用快速幂算法。快速幂算法的基本思想是利用指数的二进制表示来减少乘法运算的次数。以下是Python实现的快速幂取模算法代码: ```python def fast_pow_mod(g, x, p): result = 1 g = g % p while x > 0: if x % 2 == 1: result = (result * g) % p x = x >> 1 g = (g * g) % p return result # 示例调用 g = 2 x = 3 p = 5 y = fast_pow_mod(g, x, p) print(y) ``` ### 相关知识 - **离散对数问题**:离散对数问题是指在有限域 \(\mathbb{Z}_p\) 中,已知 \(y = g^x \mod p\),给定 \(y\)、\(g\) 和 \(p\),求解 \(x\) 的问题。目前,对于大素数 \(p\),离散对数问题被认为是一个困难问题,这也是基于该公式的密码学算法安全性的基础。 - **原根**:在使用 \(y = g^x \mod p\) 时,通常要求 \(g\) 是模 \(p\) 的原根。原根 \(g\) 满足对于 \(1\) 到 \(p - 1\) 之间的任意整数 \(y\),都存在一个整数 \(x\) 使得 \(y = g^x \mod p\)。原根的存在保证了 \(g^x \mod p\) 可以生成有限域 \(\mathbb{Z}_p\) 中的所有非零元素。
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