P2544 [AHOI2004]数字迷阵(斐波那契数列+矩阵快速幂)

本文介绍了一种使用矩阵快速幂的方法来高效计算斐波那契数列的问题。通过推导出斐波那契数列的第一列和第二列公式,并利用矩阵快速幂算法加速计算过程。

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题解:先跟据斐波那契数列退出第一列公式,然后再根据公式推出第二列公式,最后使用矩阵快速幂得出答案即可。


#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>

typedef long long ll;

const int N=2;

ll MOD;

struct node{
    ll a[10][10];
}tmp,ans,t;


node matrix(node x,node y ){
    node q;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=1;j<=N;j++){
            q.a[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=N;k++){
                q.a[i][j]=(q.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]+MOD)%MOD;
            }
        }
    }
    return q;
}

void quick_ma(ll n){
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=1;j<=N;j++){
            ans.a[i][j]=0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++) ans.a[i][i]=1;
    t=tmp;
    while(n){
        if(n&1) ans=matrix(ans,t);
        n>>=1;
        t=matrix(t,t);
    }
}

int main(){

    ll c2,c1;
    ll x,y;
    scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&MOD);
    c1=((ll)(x*(1+sqrt(5)))/2+x-1)%MOD;
    c2=((c1*2-x+1)%MOD+MOD)%MOD;
//    printf("%lld  %lld\n",x,c0);
    tmp.a[1][1]=1;
    tmp.a[1][2]=1;
    tmp.a[2][1]=1;
    tmp.a[2][2]=0;
//    printf("%lld  %lld\n",c1,c2);
    if(y>2){
        quick_ma(y-2);
        printf("%lld\n",(c2*ans.a[1][1]%MOD+c1*ans.a[1][2]%MOD)%MOD);
    }else{
        if(y==1)
            printf("%lld\n",c1);
        else printf("%lld\n",c2);
    }
    return 0;
}

 

### AHOI2008 计算器问题解析 #### 一、题目概述 AHOI2008的计算器问题是关于模拟计算器操作的一类算法竞赛题。该题要求实现一个简单的四则运算表达式的计算功能,能够处理括号优先级以及基本的加减乘除四种运算。 #### 二、核心概念与方法论 对于此类涉及表达式求值的任务,通常采用逆波兰表示法(Reverse Polish Notation, RPN)来简化计算过程[^1]。通过将中缀表达式转换成后缀表达式的形式,可以更方便地使用栈的数据结构来进行数值计算而无需担心操作符之间的复杂优先关系。 #### 三、具体实施策略 为了高效解决这个问题,建议采取如下措施: - **构建词法分析模块**:负责识别输入字符串中的各个组成部分,如数字、运算符等; - **设计语法解析逻辑**:依据特定规则将上述组件组装成为合法的RPN序列;此阶段需特别注意处理好不同级别运算符间的先后顺序及括号的影响。 - **执行实际计算流程**:运用栈辅助完成最终的结果推导工作,在遇到数值时压入栈内保存起来,当碰到运算符时弹出相应数量的操作数并按照指定方式组合得到新值再放回栈顶位置直至遍历完整个表达式为止。 ```python def calculate(expression): def to_postfix(infix_tokens): precedence = {'+':1,'-':1,'*':2,'/':2} output_queue = [] operator_stack = [] for token in infix_tokens: if isinstance(token,int): output_queue.append(token) elif token == '(': operator_stack.append(token) elif token == ')': while operator_stack and operator_stack[-1]!='(': output_queue.append(operator_stack.pop()) operator_stack.pop() # remove '(' from stack else: # operators while (operator_stack and operator_stack[-1]!= '(' and precedence.get(token,0)<=precedence.get(operator_stack[-1],0)): output_queue.append(operator_stack.pop()) operator_stack.append(token) while operator_stack: output_queue += operator_stack[::-1] break return output_queue def eval_postfix(postfix_tokens): num_stack = [] for item in postfix_tokens: if type(item)==int: num_stack.append(item) else: b,a=num_stack.pop(),num_stack.pop() result={ '+':lambda a,b:a+b, '-':lambda a,b:a-b, '*':lambda a,b:a*b, '/':lambda a,b:int(a/b), }[item](a,b) num_stack.append(result) return num_stack[0] tokens=[eval(x)if x.isdigit()else str(x).strip()for x in expression.replace(" ","")] rpn=to_postfix(tokens) answer=eval_postfix(rpn) return answer ```
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