bzoj1001: [BeiJing2006]狼抓兔子

最新推荐文章于 2020-01-13 20:23:43 发布

zhouyuyang233

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分类专栏：图论文章标签：信奥

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本文介绍如何通过构造对偶图将最小割问题转换为最短路径问题的方法，并给出具体的实现代码。对偶图中的最小环即为原图的最小割。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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最小割转最短路。

将原图中每一个由路径围成的最小三角形区域缩点，相邻区域建一条长度为相邻边权值的边，附加原点S和汇点T。即为对偶图。每个平面图都对应一个对偶图，对偶图中的最小环就是原图的最小割，如果删去对偶图中s-t这条边，就是相当于求最短路了！如下图，蓝色的是原图，红色的是对偶图，绿色的是对偶图最短路（最小环删去了s-t的边）（也是原图最小割）。

把原图中每个点在对偶图中标号，重新建图，在新图中跑最短路就行了，效率比网络流快。程序按照下图建图。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1998000
#define id(x,y,z) ((x-1)*(n-1)*(m-1)+(y-1)*(m-1)+z)
using namespace std;
struct edge{int to,next,v;}e[N*3];
int head[N],dis[N],vis[N],q[N];
int n,m,S,T,x,y,h,t,tot;
void add(int x,int y,int z){
	e[++tot]=(edge){y,head[x],z};
	head[x]=tot;
	e[++tot]=(edge){x,head[y],z};
	head[y]=tot;
}
inline int read(){
	int x=0;
	char ch=getchar();
	for (;ch<48||ch>57;ch=getchar());
	for (;ch>=48&&ch<=57;ch=getchar())
		x=x*10-48+ch;
	return x;
}
int main(){
	n=read(); m=read();
	S=2*(n-1)*(m-1)+1; T=S+1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<m;j++){
			x=(i==1)?S:id(1,i-1,j);
			y=(i==n)?T:id(2,i,j);
			add(x,y,read());
		}
	for (int i=1;i<n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++){
			x=(j==1)?T:id(2,i,j-1);
			y=(j==m)?S:id(1,i,j);
			add(x,y,read());
		}
	for (int i=1;i<n;i++)
		for (int j=1;j<m;j++)
			add(id(2,i,j),id(1,i,j),read());
	h=0; t=1;
	memset(dis,100,sizeof(dis));
	q[1]=S; dis[S]=0; vis[S]=1;
	while (h!=t){
		h=(h+1)%N;
		x=q[h];
		vis[x]=0;
		for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
			if (dis[e[i].to]>dis[x]+e[i].v){
				dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].v;
				if (!vis[e[i].to]){
					vis[e[i].to]=1;
					t=(t+1)%N;
					q[t]=e[i].to;
				}
			}
	}
	printf("%d",dis[T]);
}