本文介绍了计算机算法中涉及数学运算的基础知识，包括模运算、素数分解、最大公约数求解、费马小定理及RSA加密算法。通过欧几里德准则、扩展欧几里德算法等手段解决了素数判断与最大公约数问题，进一步阐述了模运算在RSA加密中的应用。
因为最开始的计算机算法都是为了解决数学问题，因此我们首先介绍一些很基本的涉及数学运算的算法，其中会涉及一些初等数论知识。这一章的核心可以归结为以下两个问题，1.求一个数的素数分解 2.判断一个数是否是素数。
模运算：
基本的四则运算相信大家都应该比较熟悉，就不再赘述。这里主要用到的是整数的模运算，这是数论里最基本的一个运算，有很多的应用场景，本章提到的算法也都和模运算有关。如下：
定义： 设 x，N 均为整数，若x=q*N+r,其中0<=r<N，q和r均为整数，则r称为x对N的模，简写为x mod N 。
如果x mod N==y mod N，我们简写成x==y（mod N），接下来我们考虑在模运算下的基本运算法则，首先引入模运算的一个基本定理：
替换准则：
如果x==x’(mod N),y==y'(mod N),则x+y==x'+y'(mod N), xy==x'y'(mod N)
有了上述准则，我们可以很方便的进行大数的求模运算，如下
2345==(25)69==3269==169==1 (mod 31)
考虑对xy mod N，在x，y，N都很大的情况下，运算量非常大，考虑常规的计算顺序：
x mod N --> x2 mod N -->x3 mod N -->...... --> xy mod N ,
如果y有500 bits，那么上述计算总共需要2500次乘法运算。我们可以用一种更聪明的计算序列，
x mod N --> x2 mod N -->x4 mod N -->x8 mod N -->...... --> xy mod N ,
这样，只需要进行500次乘法运算即可求出结果。
但是上述准则只给出了在模运算下进行加法和乘法的运算法则，那减法和除法呢，首先考虑减法，其实和普通的四则运算一样，减去一个数相当于加上这个数的相反数，这样减法即可用加法来表示，如下：
5==25（mod 10），14==4（mod 10） ，
则5-14（mod 10）==-9（mod 10）==1（mod 10）==21（mod 10）
==25-4（mod 10）
值得注意的是，虽然加减法和乘法在模运算下都成立，但是除法在模运算下并不成立。
既然有了模运算这个工具 ，那肯定得给它找点用武之地了，接下来我们开始用这个工具解决几个问题，最著名的可能就是求两个整数的最大公约数（gcd）了：
欧几里德准则：
如果x和y 均是正整数并且x>=y,那么gcd（x，y）==gcd（y，x mod y）。
为什么呢，可以想一下，如果r是上述准则中x和y的最大公约数，那么x==ar，y=br，则x-y=（a-b）r，可作简单推倒如下：
gcd（x，y）=gcd（x-y，y）=gcd（x-2y，y）....... =gcd(x mod y,y)=gcd(y,x mod y);
有了上述准则，算法岂不是很容易了，为了简单，没有考虑负数等情况，只考虑最简单的a>=b>=0的情况,算法如下：
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0) return a;
else ruturn gcd(b,a %b);
}
求出了最大公约数，我们在给出一个相关的定理，
如果d是a和b的公约数，并且对某个整数x和y满足d=ax+by，
那么d==gcd（a，b）
简单证明： gcd（a，b）是a，b的最大公约数 => gcd（a，b）>=d（1）
gcd（a，b）整除a和b =>
gcd(a,b)整除ax+by=d =>
gcd(a,b)<=d （2）
由（1）（2）可知，gcd（a，b）==d
那我们怎么才能把x和y求出来呢，很简单，我们对上述gcd算法进行一下扩展，由于要返回三个值，为书写方便，采用如下伪代码：
function extended-gcd（ a ，b） //a，b均为正整数且a>b
{
if b==0) return (1,0,a);
（x，y，d）=extended-gcd（b，a mod b）；
return （y，x - floor(a/b)*y,d); //floor 函数表示向下取整
}
上述是一个递归算法，基本情况是b==0时，此时gcd（a，b）=a*1+b*0;
若b不为0，则假设已求出extended-gcd(b，a mod b), 此时，
gcd(a,b) =gcd(b,a mod b)
=x*b +y *(a mod b)
=x*b+y*(a-floor(a/b)*b)=y*a+(x-floor(a/b)*y)*b.
接下来，对文章开始提出的第二个问题进行解答，即能否判断一个数是否是素数。首先引入一个相关的定理：
费马小定理： 如果p是素数，那么对任意的1<=a<p, 有 ap-1 ==1 (mod p)
上述定理给出了p为素数的一个必要条件，对于任意给定的数，我们可以根据上述定理证明它不是素数，但似乎无法证明它是素数，那怎么办呢，给出的解决方案很简单，多试几次，如果连着n次都符合素数的条件，那就可以以近似1的概率认为这个数是素数，n值一般取10左右即可，理论上，这种判断方法有可能会判断错误，但是这是小概率事件，可以认为不会发生，具体算法：
function primality（N）
Input： positive integer N
Output： yes/no
pick positive integers a1,a2,...ak<N at random
if aiN-1==1(mod N) for all i=1,2......k
return yes
else
return no
至于第一个问题，数学家们已经研究很久很久，不过至今没有什么有效的算法能够快速求解，当然，没法解这个问题不代表它没有意义，正因为这个问题在现有的计算机上无法求解，这反而给大家提供了一种保证信息安全的机制，我们接下来探讨一下著名的RSA加密算法，这也算是模运算和素数理论的一个重大贡献了。
为了解释这个算法，我们还需要了解一个概念，即对模运算，我们引入一个乘法‘逆’的概念：
定义：如果ax==1（mod N），那么我们把x称为a在模N运算下的乘法逆。
定理：对任意的a和N，a在模N运算下的乘法逆存在，当且仅当N和a互素，即gcd（a，N）==1
可以证明，如果一个数在模运算下的乘法逆存在，则它是唯一的。 例如，3*7(mod 10)==1,所以3是7在模10运算下的逆，那引入这 个‘逆’的概念有什么用呢，最直接的就是在RSA算法中的加解密运算了。我们来分析一下加解密的原理，
设原始数据是x，任意找两个素数p和q，设N=p*q，M=（p-1）*(q-1))，再任意找一个数e，满足gcd（e，M)==1,这样，根据上述定理，在模M运算下e的逆s必存在。我们用e对原始数据进行加密，y=encode（x）=xe(mod N)，用s对收到的y进行解密，decode（y）=yd(mod N)=xed(mod N),接下来我们证明decode（y)==x (mod N) :
由于ed==1（mod M），即ed=1+k（p-1）*(q-1),其中k为某整数。
则有xed-x (mod p)
=x 1+k（p-1）*(q-1) - x (mod p)
=x*(x k（p-1）*(q-1) - 1) (mod p)
=0 （费马小定理）
所以xed-x 是p的倍数，同理可知，xed-x 是q的倍数
又因为p和q均是素数，所以xed-x 是N=p*q的倍数。
所以xed-x =0（mod N），即xed=x (mod N)，这相当于解密出来原始数据。
RSA是一种公钥加密技术，什么意思呢，就是说，公钥是用来加密的，每个人都可以看见，私钥用来解密，只有我一个人可以看到，这样，如果有人给你发送消息，就用你的公钥进行加密，你可以用私钥对收到的密文进行解密，其他人也可以收到密文，但是由于没有私钥，强行破解算法是一个当前计算机无法解决的复杂度，这也就相当于保证了信息的安全。相信大家已经看出来了，上述证明中的e即是公钥，而d则是私钥，当然两者的角色也是可以互换的。
下面用Alice和Bob之间的通信说明RSA的工作过程：
Bob：接收方
1 随机挑选两个很大的素数（n-bit）p和q
2 他的公钥是(N,e),其中N=pq，e是一个和(p-1)(q-1)互素的数(2n-bit)
3 他的私钥是d，其中d是e在模(p-1)(q-1)运算下的乘法逆
5 收到密文y后，可通过yd mod N计算原始信息x
Alice：发送方
4 设发送的原始数据为x，首先找到Bob的公钥（N，e），加密y=（xe mod N）
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