排序算法——希尔排序的图解、代码实现以及时间复杂度分析

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希尔排序是一种改进的插入排序，通过比较相距一定间隔的元素来工作，逐步缩小间隔直到排序完成。文章详细介绍了希尔排序的原理、使用Java的编程实现，以及不同增量序列对最坏情况下的时间复杂度影响，包括Shell的增量序列、Hibbard增量序列和Sedgewick提出的更优序列。希尔排序在实际应用中表现出良好的性能，适用于大量数据的排序。

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希尔排序(Shellsort)

希尔排序是冲破二次时间屏障的第一批算法之一。
希尔排序通过比较相距一定间隔的元素来工作；各躺比较所用的距离随着算法的进行而减小，直到只比较相邻元素的最后一趟排序为止。由于这个原因，希尔排序有时也叫做缩减增量排序。
希尔排序使用一个序列h1,h2,…,hi,这个序列叫做增量序列(increment sequence)。增量序列只要求h1=1，以及h_i>h_i-1。在使用h_k的一趟排序之后，对于每一个i我们都有a[i] <= a[i+hk]；所有间隔hk的元素都被排序。此时称文件是h_k-sorted（h_k排序的）。
希尔的增量序列
增量序列的一个流行（但是不好）的选择是使用Shell建议的序列：h_t = （N/2）_向下取整和h_k = (h_k+1/2)_向下取整。

希尔排序的原理以及编程实现

希尔排序的原理：

下面是使用希尔序列的希尔排序的编程实现：

      /**
     * 希尔排序的实现例程。
     * 希尔排序以增量进行分组，每一组进行组内的插入排序，使得该组有序。
     * @param a 要排序的数组
     * @param <AnyType> 数组的类型
     * @return 已经有序的数组
     */
    public static <AnyType extends Comparable<? super AnyType>> AnyType[] shellSort(AnyType[] a){
        int i;
        for (int gap=a.length/2;gap>0;gap/=2){ //增量序列
            /*
            * 下面就是插入排序*/
            for (int j=gap;j<a.length;j++) {   //从当前增量序列处开始向后遍历
                AnyType tmp = a[j];
                for (i = j; i>=gap && tmp.compareTo(a[i - gap]) < 0; i -= gap) {
                    a[i]=a[i-gap];
                }
                a[i]=tmp;
            }
        }
        return a;
    }

希尔排序的最坏情形分析

希尔排序的运行时间依赖于增量序列的选择。

7.3 使用希尔增量时希尔排序的最坏情形运行时间为θ(N²)。

Hibbard增量序列：1,4,7,…,2^k-1。这个增量的特点是增量没有公因子

7.4 使用Hibbard增量的希尔排序的最坏情形运行时间为θ(N^3/2)。

Sedgewick提出了几种增量序列，其最坏情形运行时间为O(N^4/3)。其中最好的是序列{1,5,19,41,109,…}，该序列中的项或者是9*4ⁱ-9*2ⁱ+1的形式，或者是4ⁱ-3*2ⁱ+1。这个增量序列在实践中还是最为人们称道的。
希尔排序的性能在事件中是完全可以接受的，即使是对于数以万计的N仍是如此。编程的简单特点使得它成为对适度地大量的输入数据经常选用的算法。