leetcode：96. 不同的二叉搜索树

题目来源

96. 不同的二叉搜索树

题目描述

class Solution {
public:
    int numTrees(int n){
		
	}

题目解析

动态规划

分析

给定一个数n，怎么去构建一颗二叉搜索树呢？

• 我们在构建树时，都是先选定根节点，然后在递归的去构建左右子树的。
• 假设给定了一个5，而且对于序列[1，5]，我们应该怎么构建树呢？
  • 假设根节点为5，那么如果要是一颗二叉搜索树，那么剩下的部分[1, 4]都必须是它的左子树
  • 假设根节点为4，那么如果要是一颗二叉搜索树，那么剩下的部分[1, 3]必须是它的左子树，[5]必须是它的右子树
  • 假设根节点为3，那么如果要是一颗二叉搜索树，那么剩下的部分[1, 2]必须是它的左子树，[4, 5]必须是它的右子树
  • 假设根节点为2，那么如果要是一颗二叉搜索树，那么剩下的部分[1]必须是它的左子树，[3, 5]必须是它的右子树
  • 假设根节点为1，那么如果要是一颗二叉搜索树，那么剩下的部分[2, 5]必须是它的右子树
• 对于序列[1,4]，我们该怎么构建树呢？
  • 假设根节点为4，那么如果要是一颗二叉搜索树，那么剩下的部分[1, 3]都必须是它的左子树
  • 假设根节点为3，那么如果要是一颗二叉搜索树，那么剩下的部分[1, 2]必须是它的左子树，[4,5]必须是它的右子树
  • …
• 从上面可以看出，有大量的重叠子问题，所以可以用递归或者动态规划来解决。

对于上面分析，我们用书面语言来总结一下：

• 给定一个有序序列$\mathrm{1...}n$，为了构建出一颗二叉树，我们可以遍历每个数字i，然后将该数字作为树根，将1...(i-1)序列作为左子树，将(i + 1) ... n序列作为右子树。接着我们可以按照同样的方式递归构建左子树和右子树。
• 在上述构造过程中，由于根的值不同，因此我们可以保证每颗二叉搜索树是唯一的。
• 由此可见，原问题可以分解成规模较小的两个子问题，且子问题的解可以复用。因此，我们可以想到使用动态规划来求解本题。

从上面可以看出，对于一个数5，它的最优子结构是：

• 以1为根节点，构建的二叉搜索树有多少个
• 以2为根节点，构建的二叉搜索树有多少个
• 以3为根节点，构建的二叉搜索树有多少个
• 以4为根节点，构建的二叉搜索树有多少个
• 以5为根节点，构建的二叉搜索树有多少个

那么，设以i为根节点的二叉搜索树为f(i)，那么其最优子结构和原问题有什么关系呢？假设给定长度为5的序列，那么

• 长度为5的序列能构成的不同二叉搜索树的个数 = 以5为根节点，构建的二叉搜索树数量 + 以4为根节点，构建的二叉搜索树数量 + 以3为根节点，构建的二叉搜索树数量 + 以2为根节点，构建的二叉搜索树数量 + 以1为根节点，构建的二叉搜索树数量 =f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5)

思路

（1）定义状态

由于题目是要求我们计算不同二叉搜索树的个数，因此我们可以定义两个函数：

• G(n)：长度为n的序列能构成的不同二叉搜索树的个数
• f(i)：以i为根的二叉搜索树的个数。

则有
$$G(n)=f(1)+f(2)+f(3)+...f(n)$$

（2）推导公式。关键要推导出f(i)。

• 当i为根节点时，其左子树节点个数为[1,2,3...i-1]，右子树节点个数为[i+1, i+2，... n]
• 所以当i为根节点时，其左子树节点个数为i-1个，右子树节点为n-i个，即f(i) = G(i-1)*G(n-i)
• 因此
  $$G(n)=G(0)\ast G(n-1)+G(1)\ast G(n-2)+...+G(n-1)\ast G(0)$$

（3）对于边界情况

• $f(0)$，也就是没有节点存在时，此时只有一颗空树，f(0) = 1
• $f(1)$，也就是以1为根节点时，只有节点都为空树，f(1) = 1
• 因此
  $$G(0)=1$$
  $$G(1)=1$$

                    1                        n = 1

                2        1                   n = 2
               /          \
              1            2
  
   1         3     3      2      1           n = 3
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

总结

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        std::vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
            
            // dp[2]  = dp[0] * dp[1] + dp[1] * dp[0];
        }
        return dp[n];
    }
}