买卖股票的最佳时机II

继续每日一题，今天给大家分享一道经典的多维动态规划题目：买卖股票的最佳时机II

题目描述：

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

题目示例：

对于动态规划类的题目，无论是一维还是多维，我们的目的都是找到一个合适的状态转移方程来满足无后效性，对于本题，我们除了要标记收益之外还需要知道当前收益下的持股状态，所以我们声明dp数组：dp[i][j]，表示：

下标为 i 的这一天，持股状态为 j 时，我们手上拥有的最大现金数。

j有两种状态：股票（1） or 现金（0）

• dp[i][0]：表示在第i天持有现金的最大收益
• dp[i][1]：表示第i天持有股票的最大收益

所以我们的公式如下；
$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+price[i]),& \text{ j==0 }\\ Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-price[i]),& \text{ j==1 }\end{array}$$
我来给大家解释一下每状态下的公式含义

• dp[i][0]即当天持有的是现金的情况，这种情况需要我们在当天卖出股票换成钱

如果前一天持有的也是现金即dp[i-1][0]，那么当天就无可卖出的股票，所以收益和前一天是一样的

如果前一天持有的是股票即dp[i-1][1]，那么当天就有可卖出的股票，卖出的钱就是price[i]，所以当天的收益为：p[i-1][1]+price[i]

• dp[i][1]即当天持有的是股票的情况，这种情况需要我们买入股票

如果前一天持有的是股票即dp[i-1][1]，因为题目要求无论在任何时候都只能有一支股票，所以当天就无法买入，收益和前一天一样

如果前一天持有的是现金即dp[i-1][0]，那么当天就有可以买入股票，买入的价格则是price[i]，此时我们的收益就需要减去买股票的钱，即：p[i-1][0]-price[i]

了解上面内容后，我们还有最后一点待定，就是初始值，在动态规划的题目中，我们的步骤就是确定动态转移方程以满足无后效性问题，第二步则是确定初始值

• dp[0][0],第一天持有现金，则无任何收益，故：dp[0][0]=0;
• dp[0][1]，第一天持有股票，则需要买入，买入的价格为：price[0]，故：dp[0][1]=0-price[0]

代码实现（java）：

     public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][2];
        //0:持有现金 1：持有股票
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = 0 - prices[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
        }
        //找最大收益
        return Math.max(dp[n - 1][0], dp[n - 1][1]);
    }