122. 买卖股票的最佳时机 II

打卡!!!每日一题

今天还是给大家带来一道经典的动态规划类型的题目

题目描述：

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

题目示例：

这是一道很经典的动态规划类型题目，如果看过我之前写的关于动态规划类型的题目，便会很了解做这种题目的套路。

动态规划类型的题目其本质主要是解决后效性问题，找出状态转移方程即可。

声明一个二维数组dp[i][j]，之所以使用二维数组是因为变化的状态有两个，一个是哪一天，一个是这一天持股状态是持有还是未持有

其中dp[i][j]表示到下标为 i 的这一天，持股状态为 j 时，我们手上拥有的最大现金数

• 第一维 i 表示下标为 i 的那一天（具有前缀性质，即考虑了之前天数的交易）；
• 第二维 j 表示下标为 i 的那一天是持有股票，还是持有现金。
  • j=0表示持有现金
  • j=1表示持有股票

下面我们在思考状态转移方程

对于dp[i][0]表示在第i天持有的是现金未持有股票，我们只需考虑前一天（i-1天）

• 前一天也未持有股票，此时dp[i][0]=dp[i-1][0]
• 前一天持有股票，在第i天卖出了，此时dp[i][0]=dp[i-1][1]+prices[i]

则
dp[i][0]=Max{dp[i−1][0],dp[i−1][1]+prices[i]} dp[i][0]=Max\lbrace dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i]\rbrace dp[i][0]=Max{dp[i−1][0],dp[i−1][1]+prices[i]}
对于dp[i][1]表示第i天持有的是股票，同样也是需要考虑前一天即可

• 前一天也持有股票，此时dp[i][1]=dp[i-1][1]
• 前一天持有的是现金，此时dp[i][1]=dp[i-1][0]-prices[i]

同样
dp[i][1]=Max{dp[i−1][1],dp[i−1][0]−prices[i]} dp[i][1]=Max\lbrace dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i]\rbrace dp[i][1]=Max{dp[i−1][1],dp[i−1][0]−prices[i]}
因为我们每一步都是最优解，所以只需要考虑最后一天的情况即可，但是为了让利益最大化，所以最后一天手上只有持有现金才能让收益最高，所以我们最终取的结果应该是dp[length][0]

上面所有的问题都考虑完了，只剩下初始状态还未讨论

• dp[0][0]=0;
• dp[0][1]=-prices[0];

代码如下：(Java)

    public int maxProfit(int[] prices) {
        int length = prices.length;
        if (length <= 1) {
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[length][2];
        //初始化
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = 0 - prices[0];
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
        }
        return dp[length-1][0];
    }