最小生成树-prime算法

最新推荐文章于 2025-05-29 18:45:57 发布

努力的气球

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本文详细介绍了普利姆算法在求解最小生成树问题中的应用。通过实例演示了算法的具体步骤，包括初始化、选取起始顶点、迭代寻找最短边并更新顶点集直至覆盖所有顶点的过程。

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Prime算法的核心步骤是：在带权连通图中V是包含所有顶点的集合， U已经在最小生成树中的节点，从图中任意某一顶点v开始，此时集合U={v}，重复执行下述操作：在所有u∈U,w∈V-U的边(u,w)∈E中找到一条权值最小的边，将(u,w)这条边加入到已找到边的集合，并且将点w加入到集合U中，当U=V时，就找到了这颗最小生成树。

其实，算法的核心步骤就是：在所有u∈U,w∈V-U的边(u,w)∈E中找到一条权值最小的边。

知道了普利姆算法的核心步骤，下面我就用图示法来演示一下工作流程，如图：

首先，确定起始顶点。我以顶点A作为起始点。根据查找法则，与点A相邻的点有点B和点H，比较AB与AH，我们选择点B，如下图。并将点B加入到U中。

继续下一步，此时集合U中有{A,B}两个点，再分别以这两点为起始点，根据查找法则，找到边BC（当有多条边权值相等时，可选任意一条），如下图。并将点C加入到U中。

继续，此时集合U中有{A,B,C}三个点，根据查找法则，我们找到了符合要求的边CI，如下图。并将点I加入到U中。

继续，此时集合U中有{A,B,C,I}四个点，根绝查找法则，找到符合要求的边CF，如下图。并将点F加入到集合U中。

继续，依照查找法则我们找到边FG,如下图。并将点G加入到U中。

继续，依照查找法则我们找到边GH,如下图。并将点H加入到U中。

继续，依照查找法则我们找到边CD,如下图。并将点D加入到U中。

继续，依照查找法则我们找到边DE,如下图。并将点E加入到U中。

此时，满足U = V，即找到了这颗最小生成树。

同样，我继续用POJ 2395这题为例子给出代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
 
using namespace std;
const int MAXN = 2010;
const int INF = 1 << 30;
int map[MAXN][MAXN];
int N, M;
int lowcost[MAXN];
 
void init()
{
  for(size_t i = 0; i <= N; ++i)
    for(size_t j = 0; j <= N; ++j)
      map[i][j] = INF;
}
 
int prime()
{
  for(size_t i = 1; i <= N; ++i)
    lowcost[i] = map[1][i];
  int min;
  bool visited[N + 1];// index begin from 1 not 0
  int ans = -1;
  memset(visited, false, sizeof(visited));
  lowcost[1] = 0;
  visited[1] = true;
  for(size_t i = 1; i < N; ++i)//loop N - 1 times
  {
    min = INF;
    int k;
    for(size_t j = 1; j <= N; ++j)// find the minimun edge between two edge set
    {
      if(!visited[j] && min > lowcost[j])
      {
        min = lowcost[j];
        k = j;
      }
    }
    visited[k] = true;
    ans = ans > min ? ans : min; 
    for(size_t j = 1; j <= N; ++j)// update the array of lowcost 
    {
      if(!visited[j] && lowcost[j] > map[k][j])
        lowcost[j] = map[k][j];
    }
  }
  return ans;
}
 
int main()
{
  while(cin >> N >> M)
  {
    init();
    int x, y, c;
    for(size_t i = 0; i < M; ++i)
    {
      cin >> x >> y >> c;
      if(map[x][y] > c)
        map[x][y] = c;
      if(map[y][x] > c)
        map[y][x] = c;
    }
    cout << prime() << endl;
  }
}