独立集和顶点覆盖的相互规约

一，定义

独立集：给定一个图G=｛V,E｝和数k。判定图中是否存在k个两两没有边相连的顶点集。

顶点覆盖：给定一个图G=｛V,E｝和数k。判定图中是否存在k个顶点，使其与所有边相连。

 

二，证明相互规约

命题：独立集 ≡p 顶点覆盖

对于一个给定的图G=｛V,E｝

（1）.证明：当S是G的独立集时，V-S 是G的顶点覆盖。

                     对于G中的任意一条边(i,j)∈E有，顶点i,j不会同时属于S。即i∉S，或j∉S，或i,j∉S

                     换一句话就是，i,j顶点至少有一个属于V-S，即i∈V-S，或j∈V-S，或i,j∈V-S.

                     由（i,j）的任意性可以知道。V-S覆盖了所有边。所以V-S是顶点覆盖。

（2）.证明：当S是G的顶点覆盖时，V-S是G的独立集。

                     对于G中任意一条边(i,j)∈E有，顶点i,j至少有一个属于S。即i∈S，或j∈S，或i,j∈S

                     换一句话就是，i,j顶点最多只有一个顶点属于V-S，即i∉V-S，或j∉V-S，或i,j∉V-S.

                      由（i,j）的任意性可以知道。对任意边V-S最多包含了边的一个顶点。所以V-S是一个独立集。