算法导论习题C.4-4答案

于 2022-04-06 21:55:41 发布
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分类专栏： 算法 文章标签： 算法
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题目：

证明：二项分布b(k;n,p)的最大值近似等于1/\sqrt{2\pi npq}，其中q=1-p。

解答：

b(k;n,p) = \binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}

             =  \frac{n!}{k!*(n-k)!}p^{k}q^{n-k}           

             =  \frac{n!}{(np)! * (nq)!}p^{np}q^{nq}                                       当k=np时，取得最大值

             ≈\frac{\sqrt{2\pi n}(n/e)^{n})}{\sqrt{2\pi np}(np/e)^{np}\sqrt{2\pi nq}(nq/e)^{nq}}p^{np}q^{nq}        根据斯特林公式3.18

            =1/\sqrt{2\pi npq}

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