SDTU（3374）数据结构实验之查找二：平衡二叉树

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本文介绍如何根据输入序列构建平衡二叉树，并通过旋转算法维持其平衡性，确保树的操作时间复杂度稳定在O(logN)。

数据结构实验之查找二：平衡二叉树

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题目描述

根据给定的输入序列建立一棵平衡二叉树，求出建立的平衡二叉树的树根。

输入

输入一组测试数据。数据的第1行给出一个正整数N(n <= 20)，N表示输入序列的元素个数；第2行给出N个正整数，按数据给定顺序建立平衡二叉树。

输出

输出平衡二叉树的树根。

示例输入

5
88 70 61 96 120

示例输出

提示

　　平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是二叉查找树的一个进化体，也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年，G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis发明了这棵树，所以它又叫AVL树。平衡二叉树要求对于每一个节点来说，它的左右子树的高度之差不能超过1，如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。

旋转算法需要借助于两个功能的辅助，一个是求树的高度，一个是求两个高度的最大值。这里规定，一棵空树的高度为-1，只有一个根节点的树的高度为0，以后每多一层高度加1。为了解决指针NULL这种情况，写了一个求高度的函数，这个函数还是很有必要的。

旋转：

　　对于一个平衡的节点，由于任意节点最多有两个儿子，因此高度不平衡时，此节点的两颗子树的高度差2.容易看出，这种不平衡出现在下面四种情况：

　　1、6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2，左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点，这种情况成为左左。

　　2、6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2，左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点，这种情况成为左右。

　　3、2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2，右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点，这种情况成为右左。

　　4、2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2，右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点，这种情况成为右右。

　　从图2中可以可以看出，1和4两种情况是对称的，这两种情况的旋转算法是一致的，只需要经过一次旋转就可以达到目标，我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的，这两种情况的旋转算法也是一致的，需要进行两次旋转，我们称之为双旋转。

单旋转：

　　单旋转是针对于左左和右右这两种情况的解决方案，这两种情况是对称的，只要解决了左左这种情况，右右就很好办了。图3是左左情况的解决方案，节点k2不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的左子树X子树，所以属于左左情况。

　　为使树恢复平衡，我们把k2变成这棵树的根节点，因为k2大于k1，把k2置于k1的右子树上，而原本在k1右子树的Y大于k1，小于k2，就把Y置于k2的左子树上，这样既满足了二叉查找树的性质，又满足了平衡二叉树的性质。

　　这样的操作只需要一部分指针改变，结果我们得到另外一颗二叉查找树，它是一棵AVL树，因为X向上一移动了一层，Y还停留在原来的层面上，Z向下移动了一层。整棵树的新高度和之前没有在左子树上插入的高度相同，插入操作使得X高度长高了。因此，由于这颗子树高度没有变化，所以通往根节点的路径就不需要继续旋转了。

双旋转：

　　对于左右和右左这两种情况，单旋转不能使它达到一个平衡状态，要经过两次旋转。双旋转是针对于这两种情况的解决方案，同样的，这样两种情况也是对称的，只要解决了左右这种情况，右左就很好办了。图4是左右情况的解决方案，节点k3不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的右子树k2子树，所以属于左右情况。

　　为使树恢复平衡，我们需要进行两步，第一步，把k1作为根，进行一次右右旋转，旋转之后就变成了左左情况，所以第二步再进行一次左左旋转，最后得到了一棵以k2为根的平衡二叉树树。

#include<iostream>
using namespace std;
struct node
{
    int d;
    node *l,*r;
    int deep;
};
node *root;
int deept(node *p)      //计算树的深度
{
    if(!p)
        return -1;
    return p->deep;
}
void LL(node *&p)
{
    //node *tmp=p;    //中间变量，因为p是root的引用，交换p和q后，此时root不再是根节点
    node *q=p->l;
    p->l=q->r;
    q->r=p;
    p->deep=max(deept(p->r),deept(p->l))+1;
    q->deep=max(p->deep,deept(q->l))+1;
    p=q;            //将p和q交换
    //q=tmp;
}
void RR(node *&p)
{
    // node *tmp=p;
    node *q=p->r;
    p->r=q->l;
    q->l=p;
    p->deep=max(deept(p->l),deept(p->r))+1;
    q->deep=max(deept(q->r),p->deep)+1;
    p=q;
    // q=tmp;
}
void LR(node *&p)
{
    RR(p->l);
    LL(p);
}
void RL(node *&p)
{
    LL(p->r);
    RR(p);
}
void InsertT(node *&p,int k)
{
    if(!p)          //如果节点为空,就在此节点处加入k信息
    {
        p=new node;
        p->d=k;
        p->l=p->r=NULL;
        p->deep=1;
    }
    else if(k<p->d)             //如果k小于节点的值,就继续在节点的左子树中插入k
    {
        InsertT(p->l,k);
        if(deept(p->l)-deept(p->r)>1)   //如果高度之差为2的话就失去了平衡,需要旋转
        {
            if(k<p->l->d)
                LL(p);
            else
                LR(p);
        }
    }
    else if(k>p->d)
    {
        InsertT(p->r,k);
        if(deept(p->r)-deept(p->l)>1)
        {
            if(k>p->r->d)
                RR(p);
            else RL(p);
        }
    }
    p->deep=max(deept(p->l),deept(p->r))+1;
}

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    root=NULL;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        InsertT(root,x);
    }
    cout<<root->d<<endl;
    return 0;
}