时间复杂度及空间复杂度-优快云博客

时间复杂度的定义：

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

#include <stdio.h>
int main()
{
  int M = 10;
  while (M--)
   {
     ++count;
   }
  printf("%d\n", count);
  return 0;
}

首先我们看这个例题，何为时间复杂度呢，也就是 ++count 运行的次数，其实也就是循环在代码中运行的次数。

实际中我们计算时间复杂度时，只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

void Func(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
 ++count;
}
printf("%d\n", count);
}

在这个代码中，我们可以看出 count 一共运行的次数是 N*N+2*N+10，当我们使用大O的渐进表示法以后，时间复杂度为：O(N*N)。

通过例题我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据 X
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。

下面我们再给出几个例题来演示：

void Func1(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid-1;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

实例1基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)
实例2基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)
实例3基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。（建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）

看看我们都做对了嘛！！！

下面我们继续空间复杂度

空间复杂度定义：

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

首先我们来看一个简单的示例：

void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

在这个代码中，我们为了解决问题，额外创建了三个变量 end，exchange，i 所以在这个程序中空间复杂度为 3 当我们使用大O渐进表示法，使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)。

下面我们进入难理解的部分

long long* Fibonacci(size_t n)
{
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray;
}

这是我们熟悉的斐波那契数列，斐波那契数列是在已知道前两个数，从我们需要求的数开始一直往下开辟空间直到找到了第一个和第二个数。通过图我们来直观看一下：

由于是动态开辟了N个空间，所以空间复杂度为 O(N)

再到递归函数：

long long Fac(size_t N)
{
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

一段短短的代码，其中所开辟的空间却是及其大，首先我们来分析下，每一次 N 不等于 0 我们就需要开辟一个空间来存放 N-1 的函数程序，一直到 N=0 才停止开辟空间。由于递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。所以空间复杂度为O(N)。

时间复杂度及空间复杂度

时间复杂度的定义：

空间复杂度定义：

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