图文详解AVL树

1.AVL树的概念

AVL树又称平衡二叉搜索树。二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。下图为AVL树：

满足以下性质：

1. 它的左右子树都是AVL树
2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
3. 如果它有n个结点，其高度可保持在log2n ，搜索时间复杂度O(log2n)

2.AVL树节点的定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
   
    AVLTreeNode(const T& data)
    : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
    , _data(data), _bf(0)
    {
   }
    AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
    AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
    AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
    T _data;
    int _bf; // 该节点的平衡因子
};

3.AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

bool Insert(const T& data)
{
   
    // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
    // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性
    /*
    pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
    的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
    1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
    2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
    
    此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
    1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插     入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
    2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
    3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
    */

    if (nullptr == _root)
	{
   
		_root = new Node(data);
		return true;
	}

	// 非空
	// 1. 按照二叉搜索树的规则插入新节点
	// 找新节点在树中的插入位置，并记录其双亲
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
   
		parent = cur;
		if (data < cur->data)
			cur = cur->left;
		else if (data>cur-