AVL树

1.什么是AVL树

          AVL树是带有平衡条件的二叉查找树，是其每个结点的左子树和右子树的高度差最多差1的二叉查找树。如图1，左边的树是AVL树，但右边的不是。

图1 左边的是AVL树，右边的不是

2.AVL树的基本操作

         当向一棵AVL树中插入一个结点时，可能破坏AVL树的特性（例如，将6插入图1的AVL树中将会破坏项为8的结点平衡条件）。因此，我们需要对树进行简单的修正来恢复AVL树的平衡，这种修正操作叫做旋转（rotation）。在插入以后，只有那些从插入点到根节点的路径上的结点的平衡可能被破坏，因为只有这些结点的子树可能发生变化，在这条路径上可以发现一个结点，它的新平衡破坏了AVL条件，可以证明，恢复这个结点的平衡就可以保证整个树的AVL性质。

         我们把必须平衡的结点叫做a。则AVl树的不平衡可能是由以下四种情形造成的：

         （1）对a的左儿子的左子树进行一次插入

         （2）对a的左儿子的右子树进行一次插入

         （3）对a的右儿子的左子树进行一次插入

         （4）对a的右儿子的右子树进行一次插入

         对于（1）和（4），可以通过单旋转完成AVL树的修正，对于（2）和（3），可以通过双旋转来完成AVL树的修正。以下详细介绍单旋转和双旋转。

1.1单旋转

         图2显示了向右单旋转如何调整情形（1），其中k2表示插入后不平衡结点a。

图2 向右单旋转修正情形（1）

          图3显示了在将6插入左边原始的AVL树后结点8便不再平衡，于是，我们在7和8之间做一次单旋转，结果得到右边的树。

图3 插入6破坏了AVL性质，而后经过单旋转又将AVL性质恢复

           图4说明了向左单旋转如何调整情形（4），与情形（1）对称。

图4 向左单旋转修正情形（4）

         图5中，左边的图是在原来的AVL树中加入结点7，结点5不再平衡，破坏了AVL特性。右边的图是经过单旋转修正之后的树。

图5 插入7破坏了AVL性质，而后经过单旋转又将AVL性质恢复

1.2双旋转

         图6说明了如何通过左-右双旋转修正情形（2），先将以k1为根的子树向左单旋转，再将已k3为根的子树向右单旋转，可以得到右边的树。

图6 通过左-右双旋转修正情形（2）

         图7说明了如何通过右-左双旋转修正情形（4），先将以k3为根的子树向右单旋转，再将已k1为根的子树向左单旋转，可以得到右边的树。

图7 通过右-左双旋转修正情形（4）

          图8中，左边的图中，在原来的AVL树中加入结点14，结点6失去平衡，属于情形（4），右边的图式经过右-左双旋转修正之后的树。

图8 插入结点14，经过右-左双旋转之后的树

3.代码实现

           AVL树定义如下：

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1. typedef int ElemType;  
2.   
3. struct AvlNode  
4. {  
5.     ElemType elem;  
6.     struct AvlNode *left;  
7.     struct AvlNode *right;  
8.     int height;   //树节点高度  
9. };  
10.   
11. typedef struct AvlNode * AvlTree;//AvlTree  

            AVL树中插入操作如下：

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1. AvlTree insert(AvlTree tree, ElemType value)  
2. {  
3.     if(!tree)//添加新结点  
4.     {  
5.         tree = (AvlTree)malloc(sizeof(AvlNode));  
6.         if(!tree)  
7.             exit(EXIT_FAILURE);  
8.         tree->elem = value;  
9.         tree->left = tree->right = NULL;  
10.         tree->height = 0;  
11.     }  
12.     else if(value < tree->elem)//在左子树中添加元素  
13.     {  
14.         tree->left = insert(tree->left, value);//递归插入，类似于二叉查找树  
15.         if(getHeight(tree->left) - getHeight(tree->right) == 2)//失去平衡  
16.             if(value < tree->left->elem)       //情形（1），向右单旋转  
17.                 tree = singleRotateWithLeft(tree);  
18.             else                    //情形（2），右-左双旋转  
19.                 tree = doubleRotateWithLeft(tree);  
20.     }  
21.     else if(value > tree->elem)//在右子树中添加元素  
22.     {  
23.         tree->right = insert(tree->right, value);  
24.         if(getHeight(tree->right) - getHeight(tree->left) == 2)//失去平衡  
25.             if(value > tree->right->elem)      //情形（4），向左单旋转  
26.                 tree = singleRotateWithRight(tree);  
27.             else                    //情形（3），左-右双旋转  
28.                 tree = doubleRotateWithRight(tree);  
29.     }  
30.     else//数据元素重复，什么也不做  
31.         ;  
32.     tree->height = max(getHeight(tree->left), getHeight(tree->right)) + 1;  
33.     return tree;  
34. }  

         向右单旋转代码如下：

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1. AvlTree singleRotateWithLeft(AvlTree k2)  
2. {  
3.     AvlTree k1;  
4.   
5.     k1 = k2->left;  
6.     k2->left = k1->right;  
7.     k1->right = k2;  
8.   
9.     k2->height = max(getHeight(k2->left), getHeight(k2->right)) + 1;  
10.     k1->height = max(getHeight(k1->left), k2->height) + 1;  
11.   
12.     return k1;  
13. }  

          向左单旋转代码如下：

[cpp]  view plain copy

1. AvlTree singleRotateWithRight(AvlTree k1)  
2. {  
3.     AvlTree k2;  
4.   
5.     k2 = k1->right;  
6.     k1->right = k2->left;  
7.     k2->left = k1;  
8.   
9.     k1->height = max(getHeight(k1->left), getHeight(k1->right)) + 1;  
10.     k2->height = max(k1->height, getHeight(k2->right)) + 1;  
11.     return k2;  
12. }  

           左-右双旋转代码如下：

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1. AvlTree doubleRotateWithLeft(AvlTree k3)  
2. {  
3.     singleRotateWithRight(k3->left);  
4.     return singleRotateWithLeft(k3);  
5. }  

          右-左双旋转代码如下：

[cpp]  view plain copy

1. AvlTree doubleRotateWithLeft(AvlTree k1)  
2. {  
3.     singleRotateWithLeft(k1->right);  
4.     return singleRotateWithRight(k1);  
5. }