2016-12-10 线性筛法求素数

筛选法求素数，之前我学到的是这个版本：

 

这种已经非常不错的程序是求1~n之间的素数：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

bool a[50000000];

int main()

{

 memset(a,1,sizeof(a));

 int n;

    cin>>n;

    for(int i=2;i*i<=n;i++){

     if(a[i]) for(int j=2;i*j<=n;j++) a[i*j]=0;

    }

    

    for(int i=2;i<n;i++) if(a[i]) cout<<i<<" ";

    cout<<endl;

    return 0;

}

这种方法将会比一个一个求快数十倍。

但这种方法在最劣情况下时间复杂度将高达O(n*sqrt(n)) 如果n非常大，也依旧是一大笔时间开销。

在优化中，很明显可以看出这种方法中有些合数被筛了不止一遍，有没有方法可以避免这种情况呢？

答案是肯定的,请看这个线性筛的程序：

 

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

bool a[10000000];

int b[10000000];

int n;

void prime1(){

 memset(a,1,sizeof(a));

 int x=0;

 for(int i=2;i<=n;i++){

  if(a[i]) b[x++]=i;

  int y=0;

  while(y<x&&y*i<n){

   a[b[y]*i] = 0;

   if(i%b[y]==0) break;

   y++;

  }

 }

 for(int i=0;i<x;i++) cout<<b[i]<<" ";

 cout<<endl;

}

int main()

{

    cin>>n;

    prime1();

    return 0;

}

这个程序无论什么情况下时间复杂度将被限制在O（n） 在n非常大的情况下自然是比第一种快很多。（在n=1000时，将会快十几毫秒，但在n=10000时，将会快两倍）。

这种新的方法同时会拥有许多附加信息，这些信息可以帮助我们求欧拉函数。