hdoj 1875 畅通工程再续（最小生成树之prim算法）

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本文详细介绍了Prim算法，一种解决最小生成树问题的方法，适用于图论中的畅通工程问题。通过该算法，可以找到连接所有顶点的最经济路径。

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最小生成树

n使用不同的遍历图的方法，可以得到不同的生成树；从不同的顶点出发，也可能得到不同的生成树。

n按照生成树的定义，n个顶点的连通网络的生成树有 n个顶点、n-1条边。

n构造最小生成树的准则

n必须使用且仅使用该网络中的n-1条边来联结网络中的 n个顶点；

n不能使用产生回路的边；

n各边上的权值的总和达到最小。

prim算法

普里姆算法的基本思想：

从连通网络 N = { V, E }中的某一顶点 u0 出发,选择与它关联的具有最小权值的边( u0, v ),将其顶点加入到生成树顶点集合U中。

以后每一步从一个顶点在 U中,而另一个顶点不在 U 中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把它的顶点加入到集合 U中。如此继续下去,直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合 U中为止。

采用邻接矩阵作为图的存储表示

分析以上算法,设连通网络有 n个顶点, 则该算法的时间复杂度为 O(n2), 它适用于边稠密的网络。

注意：当各边有相同权值时，由于选择的随意性，产生的生成树可能不唯一。当各边的权值不相同时，产生的生成树是唯一的。

下面是杭电的一道例题 hdoj1875

畅通工程再续

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 20017 Accepted Submission(s): 6281

Problem Description

相信大家都听说一个“百岛湖”的地方吧，百岛湖的居民生活在不同的小岛中，当他们想去其他的小岛时都要通过划小船来实现。现在政府决定大力发展百岛湖，发展首先要解决的问题当然是交通问题，政府决定实现百岛湖的全畅通！经过考察小组RPRush对百岛湖的情况充分了解后，决定在符合条件的小岛间建上桥，所谓符合条件，就是2个小岛之间的距离不能小于10米，也不能大于1000米。当然，为了节省资金，只要求实现任意2个小岛之间有路通即可。其中桥的价格为 100元/米。

Input

输入包括多组数据。输入首先包括一个整数T(T <= 200)，代表有T组数据。
每组数据首先是一个整数C(C <= 100),代表小岛的个数，接下来是C组坐标，代表每个小岛的坐标，这些坐标都是 0 <= x, y <= 1000的整数。

Output

每组输入数据输出一行，代表建桥的最小花费，结果保留一位小数。如果无法实现工程以达到全部畅通，输出”oh!”.

Sample Input

Sample Output

   
    1414.2
oh!

克鲁斯卡尔算法（已ac）

<span style="font-size:14px;">#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<math.h>
using namespace std;
int per[103];
void init()
{
	for(int i=0;i<=102;i++)  //由于上边定义的是103数组，此时只能访问0~102；不能用103这个位置，否则越界 
	per[i]=i;
}
struct node
{
	int  x;
	int  y;

}dao[103];
struct node2
{
	int  a;
	int  b;
	double changdu; 
}p[103*103];
double cmp(node2 a,node2 b)
{
	return a.changdu<b.changdu;
}
int find(int x)
{
	if(x==per[x])
	return x;
	else
	return per[x]=find(per[x]);
}
int join(int x,int y)
{
	int fx=find(x);
	int fy=find(y);
	if(fx!=fy)
	{
		per[fy]=fx;
		return 1;
	}
	else
	return 0;
}
int main()
{
	int n,m,i,j;
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		int x=0;
		scanf("%d",&m);
		init();       //初始化，容易丢 
		for(i=0;i<m;i++) 		
		scanf("%d%d",&dao[i].x,&dao[i].y); //这也可以定义成两个 数组来存储 
		for(i=0;i<m;i++)
		{
		  for(j=i+1;j<m;j++)
			{
		double  f=(double)(dao[j].x-dao[i].x)*(dao[j].x-dao[i].x)+(double)(dao[j].y-dao[i].y)*(dao[j].y-dao[i].y);
			p[x].changdu=sqrt(f); //注意前一句的强制转化，也可以不写double，写成1.0*后边的等式 
			p[x].a=i;
			p[x].b=j;
			x++;
			}			
		}	
			sort(p,p+x,cmp);
			double sum=0;
			int    cnt=1;
		for(i=0;i<x;i++)
		{
			if(join(p[i].a,p[i].b)&&p[i].changdu>=10&&p[i].changdu<=1000)	
			{
				sum=sum+p[i].changdu;
				cnt++;
			}
		} 
		if(cnt>=m)
		printf("%.1lf\n",sum*100);   //double输出用lf 
		else
		printf("oh!\n") ;              	
	}
	return 0;
}</span>

用克鲁斯卡尔大致有几个过程 。

1、建立编号。（找到两个点之间的联系，然后编号成第几组）

2、按照最小代价排序（一般为结构体排序）

3、利用并查集，边连接，边判断，排除成环的情况，并记录连接点的个数。

4、判段连接点个数是否等于所需连接物体数量。

prim算法（ac）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#define max 1000
#define INF 0xfffffff
int n;
int x[110],y[110];
double g[110][110];  
double dis(int a,int b)
{
	return sqrt(1.0*(x[a]-x[b])*(x[a]-x[b])+(y[a]-y[b])*(y[a]-y[b]));
}
void prim()
{
	double dis[110],min,sum;
	int vis[110];
	int v,i,j,k;
	memset(vis,0,sizeof(vis));   //此数组为1时，代表进入集合，否则没进入集合 
	for(i=1;i<=n;i++)
	dis[i]=g[1][i];  //记录i点到集合1的距离 
	vis[1]=1;        //让第一个点进入集合 
	 for(v=1;v<n;v++)
	 {
	 	min=INF;
		// k=1;   //可以不初始化，因为每次k都是集合外的点距离集合 内点的最近距离坐标，自动更新 
		 for(i=1;i<=n;i++)
		 if(!vis[i]&&dis[i]<min)
		 {
		 	min=dis[i];  //把距离1的最近距离赋给了min 
		 	k=i;		//把点的坐标赋给了k 
		 }
		 if(min==INF)   //说明外面的点要想进来，距离都不符合题意 
		 {
		 	printf("oh!\n");
		 	return ;
		 }
		 vis[k]=1;
		 for(i=1;i<=n;i++)
		 if(!vis[i]&&dis[i]>g[k][i])
		 dis[i]=g[k][i];   //注意dis记录的是集合内部距离集合外每一个点的最小距离，不是某个点 
	 } 
	    sum=0;
	   for(i=2;i<=n;i++)
	   sum+=dis[i]*100.0;
	   printf("%.1lf\n",sum) ;
	   return ;	 			 		
}
int main()
{
	int i,j,m;
	scanf("%d",&m);
	while(m--)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
		for(i=1;i<=n;i++)
			for(j=1;j<=n;j++)
			{
				g[i][j]=dis(i,j); //记录i点到j点的距离 
				if(g[i][j]<10||g[i][j]>1000)
				g[i][j]=INF;    //把不符合题意的点直接赋值无穷大，相当于做标记，便于输出 
			}
			prim();
	}
	return 0;
	
}