动态规划题型总结

动态规划适用于子结构具备如下性质的问题：

1. 重复子问题
2. 最优子结构：问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的(子问题的最优解一定包含在原问题的最优解之中)

解题的时候，画问题调用图，有助于获取递推式

• 例子：编辑距离 https://baike.baidu.com/item/%E7%BC%96%E8%BE%91%E8%B7%9D%E7%A6%BB/8010193?fr=aladdin

  dp_table(i,j)   --> dp_table(i,j+1)
      |        \          |
      |         \         |
      v          \        v
  dp_table(i+1,j) --> dp_table(i+1, j+1) [被重复计算]
  

  def minDistance(self, word1, word2):
      """
      :type word1: str
      :type word2: str
      :rtype: int
      """
      #f(word1[i:n], word2[j:m]) = min{f(word1[i:n], word2[j+1:m]) + 1,
      #                                f(word1[i+1:n], word2[j:m]) + 1,
      #                                f(word1[i+1:n], word2[j+1:m]) + (word1[i] != word2[j])}
      if word1 == word2:
          return 0
      
      if word1 == '':
          return len(word2)
      if word2 == '':
          return len(word1)
  
      # ! bad version !
      # return min(1 + self.minDistance(word1, word2[1:]),
      #         1 + self.minDistance(word1[1:], word2),
      #         (1 if word1[0] != word2[0] else 0) + self.minDistance(word1[1:], word2[1:]))
  
      # ! correct version !
      len1 = len(word1)
      len2 = len(word2)
      dp_table = [[0 for _ in range(len1+1)] for _ in range(len2+1)]
      for i in range(len2):
          dp_table[i][-1] = len2 - i
      for j in range(len1):
          dp_table[-1][j] = len1 - j
      for i in range(len2-1, -1, -1):
          for j in range(len1-1, -1, -1):
              delta = 0 if word1[j] == word2[i] else 1
              dp_table[i][j] = min(1 + dp_table[i+1][j], 1 + dp_table[i][j+1], delta + dp_table[i+1][j+1])
      
      return dp_table[0][0]
  

• 题型1：组合优化，被组合的东西必须连续

  • 前缀和 https://juejin.cn/post/6944913393627168798

    https://leetcode.cn/problems/maximum-difference-between-increasing-elements/

  • 和为K的子数组: https://leetcode-cn.com/problems/QTMn0o/

  • 区域和检索: https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-2d-immutable/, https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-immutable/

  • 连续子数组的最大和 https://leetcode.cn/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof/

      题目描述：输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。
               要求时间复杂度为O(n)。
    
      示例1:
          输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
          输出: 6
          解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
    

    • 解答1：用$f(i)$ 代表以第 $i$ 个数【结尾】的连续子数组的最大和，要求的答案就是：

      max⁡0≤i≤n−1{f(i)}\max_{0 \leq i \leq n-1} \{ f(i) \}0≤i≤n−1max​{f(i)}

      对$f(i)$，考虑是否将$nums[i]$并入$f(i-1)$对应的那一段数组，得到递推式：

      f(i)=max⁡{nums[i],f(i−1)+nums[i]}f(i)=\max\{nums[i], f(i-1) + nums[i]\}f(i)=max{nums[i],f(i−1)+nums[i]}

    • 解答2：用$f(i)$ 代表以第 $i$ 个数【开头】的连续子数组的最大和，要求的答案就是：

      max⁡0≤i≤n−1{f(i)}\max_{0 \leq i \leq n-1} \{ f(i) \}0≤i≤n−1max​{f(i)}

      对$f(i)$，考虑是否将$nums[i]$并入$f(i+1)$对应的那一段数组，得到递推式：

      f(i)=max⁡{nums[i],f(i+1)+nums[i]}f(i)=\max\{nums[i], f(i+1) + nums[i]\}f(i)=max{nums[i],f(i+1)+nums[i]}

  • 连续子数组的最大积 https://leetcode.cn/problems/maximum-product-subarray/

• 题型2：等式约束组合优化

  • 零钱兑换 https://leetcode.cn/problems/coin-change/

      题目描述：给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
    
              返回可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回-1。
    
              你可以认为每种硬币的数量是无限的。
    
      示例1：
          输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
          输出：3 
          解释：11 = 5 + 5 + 1
      示例2：
          输入：coins = [2], amount = 3
          输出：-1
      示例3：
          输入：coins = [1], amount = 0
          输出：0
    

    • 解答：该问题可建模为以下优化问题：

      $$\min \sum _{i=1}^n{x}_i\text{subject to}\sum _{i=1}^n{x}_i\ast c_i=S$$

      其中，$S$ 是总金额，$c_i$是第$i$ 枚硬币的面值，$x_i$是$i$ 枚硬币的数量。

      使用$f(i)$表示组成金额$i$所需最少的硬币数量，问题所求的是$f(amount)$。假设$f(i)$对应的方案组合已知，从中拿掉一个面值为$c$的硬币，则剩下的硬币为$f(i-c)$对应的最优方案（否则的话，$f(i)$对应的不是最优方案，产生矛盾），因此$f(i)$的递推式为：

      $$f(i)=\underset{j=1}{\overset{n}{\min }}f(i-c_j)+1,1\le i\le amount$$

      注意到$i-c_j$可能为0或者为负，因此要补充定义$f(0)=0$，如果$i=c_j$，那么一个硬币就可以实现目标，原式子依然成立。完整的递推式为：

      $$f(i)=0,i=0$$
      $$f(i)=\underset{j=1,c_j\le i}{\overset{n}{\min }}f(i-c_j)+1,1\le i\le amount$$

  • 单词拆分 https://leetcode.cn/problems/word-break/

• 题型3：不等式约束组合优化，被组合的东西之间是并列关系，即背包问题及其变种

  • 01背包问题

      题目描述：有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
    
              第 i 件物品的体积是 v[i]，价值是 w[i]。
    
              求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。
    

    • 解答：01背包问题是一个不等式约束的组合优化问题，即

    $$\max \sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i\text{subject to}\sum _{i=1}^n{v}_i\ast x_i\le V,x_i=0,1$$

    使用$f(i,j)$表示：只从前$i$个物品中选，并且总体积不超过$j$的选法，所能达到的最大价值。则问题所求的是$f(N，V)$。

    对于第$i$个物品，存在选与不选两个操作，如果选择，则前$i-1$个物品的总体积不能超过$j-v[i]$，因此，递推式为：

    $$f(i,j)=\max (f(i-1,j),f(i-1,j-v[i])+w[i])$$

    边界情况：$i-1$可能为0，此时即没有任何物品，总价值自然就是0，所以安排$f(0,:)$这一行都是0即可。此外，$j-v[i]$也有可能为0或者为负，当为0时候，表示体积限制为0，总价值自然也是0，所以安排$f(:,0)$这一列也都是0，此外，限制$j<v[i]$ 时候，$f(i,j)=f(i-1,j)$。完整的递推式为：

    $$f(i,j)=0,i=0\text{or}j=0$$
    $$f(i,j)=f(i-1,j)1\le i\le N,1\le j<v[i]$$
    $$f(i,j)=\max (f(i-1,j),f(i-1,j-v[i])+w[i]),1\le i\le N,v[i]\le j\le V$$

  • 完全背包问题

      题目描述：同上，但是不限制每件物品的使用次数。
    

    • 解答：递推式为：

    $$f(i,j)=0,i=0\text{or}j=0$$
    $$f(i,j)=\underset{k=0}{\overset{k\ast v[i]\le j}{\max }}(f(i-1,j-k\ast v[i])+k\ast w[i]),1\le i\le N,1\le j\le V$$

  • 选举

      题目描述：有 N 个州，第 i 个州的人口为 p[i]，投票数为 v[i]。给定最小需要的票数为V
      
              求解最少需要的人口。
    

    • 解答：原问题为：

    $$\min \sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i\text{subject to}\sum _{i=1}^n{v}_i\ast x_i\ge V,x_i=0,1$$

    转化为：

    $$\max \sum _{i=1}^n-p_i{x}_i\text{subject to}\sum _{i=1}^n-v_i\ast x_i\le -V,x_i=0,1$$

    为了消去负值，使用全体求和，即

    $$\max \sum _{i=1}^n-p_i{x}_i<->\sum _{i=1}^n{p}_i+\max \sum _{i=1}^n-p_i{x}_i=\sum _{i=1}^n{p}_i(1-x_i)$$

    $$\sum _{i=1}^n-v_i\ast x_i\le -V<->\sum _{i=1}^n{v}_i+\sum _{i=1}^n-v_i\ast x_i\le \sum _{i=1}^n{v}_i-V<->\sum _{i=1}^n{v}_i(1-x_i)\le \sum _{i=1}^n{v}_i-V$$

    由于$x_i=0,1$，$1-x_i$也是0或者1，所以问题成为：

    $$\max \sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i\text{subject to}\sum _{i=1}^n{v}_i\ast x_i\le \sum _{i=1}^n{v}_i-V,x_i=0,1$$

    这是标准的01背包问题，只不过求解最后把选择的情况反选即可。

    边界情况：如果 ${\sum }_{i=1}^n{v}_i<V$，问题无解，因为凑了所有选票也达不到要求。

• 题型4：不等式约束组合优化，组合的事物之间有马尔科夫性，即下一个选择的候选集取决于上一个选择

  • 跳跃游戏：https://leetcode.cn/problems/jump-game/

      题目描述：给定一个非负整数数组 nums ，你最初位于数组的 第一个下标 。
               数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。
               判断你是否能够到达最后一个下标。
      
      示例1:
          输入：nums = [2,3,1,1,4]
          输出：true
          解释：可以先跳 1 步，从下标 0 到达下标 1, 然后再从下标 1 跳 3 步到达最后一个下标。
    
      示例2:
          输入：nums = [3,2,1,0,4]
          输出：false
          解释：无论怎样，总会到达下标为 3 的位置。但该下标的最大跳跃长度是 0 ， 所以永远不可能到达最后一个下标。
    

    • 解答1：用$f(i)$ 表示从$i$出发能不能到达最后一个下标$n$，明显$f(n)=1$，而要求的答案为$f(0)$。

      从$i+1$到$i+nums[i]$中，只要有$f$值为1，则$f(i)$为1，递推式为：

      $$f(i)=f(i+1)\text{or}f(i+2)\text{or}...\text{or}f(i+nums[i])$$

      但是式子右边可能会出现超过$n$的下标，为了规避这一点，修改为：

      f(i)=max⁡j=i+1min⁡{i+nums[i],n}fjf(i) = \max_{j=i+1}^{\min\{i+nums[i], n\}} f_jf(i)=j=i+1maxmin{i+nums[i],n}​fj​

      复杂度$O(n\ast \max (nums))$

      ''' V1
          执行用时：2948 ms, 在所有 Python 提交中击败了5.00%的用户
          通过测试用例：170 / 170
      '''
      def canJump(self, nums: List[int]) -> bool:
          result = [False] * len(nums)
          result[-1] = True
          for i in range(len(nums)-2, -1, -1):
              for j in range(i+1, min(len(nums), i+1+nums[i])):
                  if result[j]:
                      result[i] = True
                      break
      
          return result[0]
      

    • 解答2：贪心算法

      def canJump(self, nums: List[int]) -> bool:
          right_most = 0  # 记录最远能跳到哪
          for idx, val in enumerate(nums[:-1]): # 忽略最后一个位置
              right_most = max(right_most, idx+val)  # 当前位置上，最远能跳到哪
              # 如果最远都无法超过当前位置，那肯定无法到达最后一个位置，提前结束
              if right_most <= idx:
                  return False 
          return True
      

  • 打家劫舍 https://leetcode.cn/problems/house-robber/, https://leetcode.cn/problems/house-robber-ii/

  • 礼物的最大价值 https://leetcode.cn/problems/li-wu-de-zui-da-jie-zhi-lcof/

  • 最长“自定义”子序列

      题目描述：自定义可以是递增，递减或者相邻元素满足一定条件（如相差不超过5）
    

    • 解答：用$f(i)$ 表示从数组开头（以1 为第一个下标）到第i个位置的满足条件的最长子序列长度。

    $$f(i)=\underset{1\le j<i,|nums[j]-nums[i]|\le 5}{\max }f(j)+1$$
    讨论两个边界情况：1. $i=1$时候，显然$f(i)=1$； 2. 当$1\le j<i$中没有条件满足$|nums[j]-nums[i]|\le 5$时候，显然f(i)=1。综合起来，初始化$f(i)=1,1\le i\le N$即可。

• 题型5：穷举所有可能的组合

  • 青蛙跳台阶问题 https://leetcode.cn/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof/

    【这个例子可以很好地解释，动态规划可以从给定的数组左边开始计算，也可以从右边开始计算，具体取决于动态规划变量的定义。做题时候想到了如何分解子问题，就按照分解子问题的方式去做，不必拘泥于下标从哪里开始。】

      题目描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
    
          答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
    
      示例 1：
          输入：n = 2
          输出：2
      示例 2：
          输入：n = 7
          输出：21
      示例 3：
          输入：n = 0
          输出：1
    

    • 解答1：用$f(i)$ 表示【到达】第$i$ 级台阶的跳法种数，题目所求的结果为$f(n)$。

      要到达第$i$ 级台阶，可从第$i-1$ 级台阶或第$i-2$ 级台阶过来，所以递推式为：

      $$f(i)=f(i-1)+f(i-2)$$

      边界情况：由于$i-1,i-2$可能越界，因为当$n<2$的时候，直接返回结果1。完整的递推式为：

      $$f(i)=1i=0,1$$
      $$f(i)=f(i-1)+f(i-2)n\ge i\ge 2$$

      实际写代码的时候，不需要记住整个数组$f$，只需要使用三个数字即可，代码如下：

      def numWays(self, n: int) -> int:
          if n <= 1:
              return 1
      
          a = 1
          b = 2
          for i in range(2, n):
              c = a + b
              a = b
              b = c
      
          return b % 1000000007
      

    • 解答2：用$f(i)$ 表示从第$i$ 级到第$n$ 级台阶的跳法种数，题目所求的结果为$f(0)$。

      递推式为：

      $$f(i)=f(i+1)+f(i+2)$$

      边界情况：由于$i+1,i+2$可能越界，因为当$n\ge i>n-2$的时候，直接返回结果1。完整的递推式为：

      $$f(i)=1i=n-1,n$$
      $$f(i)=f(i-1)+f(i-2)0\le i\le n-2$$

      实际写代码的时候，只有微小不同：

      def numWays(self, n: int) -> int:
          if n <= 1:
              return 1
      
          a = 1
          b = 1
          for i in range(n-2, -1, -1):
              c = a + b
              a = b
              b = c
          return b % 1000000007
      

  • 不同的二叉搜索树 https://leetcode.cn/problems/unique-binary-search-trees/

      题目描述：给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
    
      示例 1：
          输入：n = 3
          输出：5
      示例 2：
          输入：n = 1
          输出：1
    

    • 解答：使用$f(i)$表示$i$个数字二叉搜索树的种数，问题所求的是$f(n)$

      由于二叉搜索树的定义（左子树的最大者小于根，右子树的最小者大于根，并且左右子树要么只有一个节点，要么也是二叉搜索树），确定$i$作为根节点之后，左子树只能由$i-1$个数组成，

      【注意，这里不要拘泥于数字从1到i-1，因为从2到i也是一样的，重要的是有多少个数字】

      右子树只能由$n-i$个数组成，因此递推式为：

      $$f(i)=\sum _{j=1}^{i}f(j-1)\ast f(i-j),1\le i\le n$$

      边界情况：无

  • 不同路径 https://leetcode.cn/problems/unique-paths/

      题目描述：一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角，机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。
      
      问总共有多少条不同的路径？
    
    
      示例 1：
          输入：m = 3, n = 7
          输出：28
      示例 2：
          输入：m = 3, n = 2
          输出：3
          解释：
          从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
          1. 向右 -> 向下 -> 向下
          2. 向下 -> 向下 -> 向右
          3. 向下 -> 向右 -> 向下
      示例 3：
          输入：m = 7, n = 3
          输出：28
      示例 4：
          输入：m = 3, n = 3
          输出：6
    

    • 解答：使用$f(i,j)$表示从$(i,j)$到$(m,n)$的不同路径数量，递推式为

      $$f(i,j)=f(i+1,j)+f(i,j+1)$$

      边界情况，由于$i+1,j+1$可能越界，因此对$f(m,:)，f(:,n)$都设为1即可。完整递推式为：

      $$f(i,j)=1,i=m\text{or}j=n$$
      $$f(i,j)=f(i+1,j)+f(i,j+1)1\le i<m,1\le j<n$$

  • 数字翻译为字符串 https://leetcode.cn/problems/ba-shu-zi-fan-yi-cheng-zi-fu-chuan-lcof/

  • 分割回文 https://leetcode.cn/problems/palindrome-partitioning/