Zhang Phil

拉格朗日中值定理的定义：如果函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)可导，则函数f(x)上必有一点p，使得：(f(b)-f(a) )/(b-a)=f'(p)。该定理可以认为如果函数满足拉格朗日中值定理所有条件，那么f(x)上两点连线构成的直线，与过f(p)点的直线平行。MATLAB代码：syms x y; y=x.^2; %绘出y=x*x曲线，黑色线。e1=ezplot(y,[0

Matlab计算微分方程曲线求导及过曲线上点的切线方程求解f(x)=x^2一元二次方程上某点的切线方程并绘制出方程的切线图。点(4,f(4))是曲线方程f(x)上的一个点，求出该点的切线并绘制出来。画出f(x)= x^2方程曲线。对f(x)进行求导得到f’(x)=2*x。根据一般的过点(a,b)的斜切线方程求出切线方程：m为导数值。变形得到过(4,f(4))的切线方程：matlab绘出的图：红色线

数值积分的梯形逼近及误差分析引入梯形逼近的原因是，在求解一些函数的反导数时候，过程极为复杂甚至可能就不可能有简单的数学表达式，那么就需要把函数f的积分切成n个连续的小梯形，计算这n个连续的小梯形的黎曼和，从而得到积分。如图：在区间[a,b]，把这段区间切分成等长为h的若干个小梯形，那么可以把[a,b]的积分： 转换为求解这些梯形面积和的问题。梯形的面积计算无疑非常简单：h=(b-a)/n显然梯形逼

积分计算曲线围绕X轴旋转形成的立体体积若曲线y=x^2+1和直线y=-x+3围成的区域，再绕X坐标轴旋转一周，形成一个立体，计算该立体的体积。如图：先计算出所要求的在X坐标轴的积分上下限为[-2,1]。仔细分析可知，外部的大圆半径为R(x)=-x+3，r(x)=x^2+1。大圆R(x)-r(x)即为实际围成的面积:根据立体面积积分公式： 其中，A(x)为立体截面面积。可知问题最终求解的体积为：用m

积分计算两条曲线围绕y坐标轴旋转形成的立体体积和附录文章1类似，计算两条曲线y=x^2和y=2x围绕y坐标轴形成的立方体体积，首先要计算积分的上限和下限，根据两者相交的点求出[0,4]。外层大圆R(y)=y^(1/2)和内层小圆r(y)=y/2的面积，把两者相减，得到中空圆环的面积，如图：然后根据体积的积分公式：在y坐标轴方向以dy做积分计算。最后得到体积V的积分计算式：MATLAB计算：syms

数学建模常用的指数变化律最终，导出一个一般性的规律：指数变化律在数学建模中比较常用。另外需要注意本例中数学公式推导的过程，有一些技巧性的东西可以借鉴。

MATLAB计算黎曼积分曲线围成的面积假设一个曲线方程f(x)= x.^3-x.^2-2*x。f(x)与笛卡尔坐标x坐标轴有交点，如图：计算该曲线与x（1设所求面积为S，那么：但是f(x)与x坐标轴相交形成的两块面积，在x区域[-1,0]为正，[0,2]为负，因此要对[0,2]区域的面积分开计算，分别为：与然后取绝对值相加。matlab: syms x f;f=x.^3-x.^2-2*x;li

matlab双曲函数matlab：x= -10:0.1:10;sinhx = (exp(x)-exp(-x))/2;coshx = (exp(x)+exp(-x))/2;tanhx = (exp(x)-exp(-x))./(exp(x)+exp(-x));figure(1),plot(x,sinhx,'r-'),legend('双曲正弦函数sinh(x)');grid on;fig

MATLAB计算Integration by parts积分注意案例中的对原积分方程的公式分部处理技巧。MATLAB计算过程比较简单，代码：syms x f; f=x*exp(-x); e=ezplot(f,[0,4]); set(e,'Color','r','LineWidth',0.5);grid on; hold on;int(f,[0,4])结果图：MATL

MATLAB无穷大上的反常积分MATLAB代码一样可以计算反常积分：syms x f; f=log(x) / x^2; e=ezplot(f,[1,10]); set(e,'Color','r','LineWidth',0.5); grid on; hold on; S=int(f,[1,+inf])结果图：MATLAB计算的结果：S =

无界不连续函数积分MATLABMATLAB的处理很简单：syms x f; f=1/x^(1/2); e=ezplot(f,[0,1]); set(e,'Color','r','LineWidth',0.5); grid on; hold on; S=int(f,[0,1]) S = 2图：计算结果：S

反常积分收敛和发散性质MATLAB反常积分发散或收敛性质判别的定理：例如：MATLAB计算反常积分：syms x f1 f2; f1=1/(x^2); e1=ezplot(f,[0,10]); set(e1,'Color','r','LineWidth',1); hold on; f2=1/(1+x^2); e2=ezplot(

非负项级数积分法MATLAB定理：计算过程可由MATLAB完成：syms n f; f=1/n^2; L=limit(f,n,+inf)A=int(f,n,[1,+inf])S=symsum(f,n,1,+inf) L = 0 A = 1 S = pi^2/6级数和为：pi^2/6

Machine Learning：最小二乘法数学原理及简单推导假设给定一系列散列值（数据集）记为D={（x1,y1），（x2，y2），（x3，y3），，，（xn，yn）}，找到一个函数y=ax+b（也可记得f(x)=ax+b）使得f(x)函数尽可能拟合D。求解函数f(x)的方法很多种。最小二乘法寻找拟合函数f(x)的原理和思想关键：平方差之和最小，即使得Q最小。即求解最小值。因为(x1,y1)，（

积分解多条曲线围成面积且具有不同边界MATLAB如图所示，f(x)=x^(1/2)与g(x)=x-2围成的图形，如果求所围成面积处于x坐标轴上方的部分，则直接使用黎曼积分(f(x)-gx)dx不妥。因此，把这一问题转换为求解两部分面积的之和的问题，注意这里面体现的数学思想。（第一部分面积）s1: f(x)=x^(1/2)在[0,2]区间内与x坐标轴围成的面积。直接计算f(x)dx在[0,2]的积分

黎曼积分解多条曲线围成的面积：MATLAB假设f(x)=-x^2+2与g(x)=-x两条曲线，两条曲线相交于两点，分别是(-1,1)和(2,-2)，如图，红色曲线是f(x)，绿色线是g(x)：红色曲线和绿色曲线所围成的面积可由黎曼积分求解，显然，积分下限是-1，上限是2：MATLAB代码：syms x f g F; f=-x.^2+2; e1=ezplot(f,[-2,3]); se

绘制结果如图所示：具体的绘制要求和实现的细节，matlab代码注释中已有：x=-3:0.05:3; %刻度为0.05单位。显示区间为[-3,3]。y1=x.^2+5; %即y1=-2x*x+5的曲线。plot(x,y1,'g','LineWidth',0.5); %绿色的曲线。线宽0.5。hold on;y2=-x.^2-5; %即y2=-2x*x-5的曲线。plot(x,y2,'b'

主要使用了matlab提供的meshgrid和surf。一个细节是matlab中的 ./ 如果是单数，是一般的数学除法，如果是多维矩阵，则是多维矩阵对应元素的除法。matlab代码：xi=-20:0.3:20;yi=-10:0.3:10;[x,y]=meshgrid(xi,yi);z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./sqrt(x.^2+y.^2);surf(x,y,z);代码运

数值分析Matlab二维正态(高斯)分布以及协方差矩阵主要是使用了matlab的mvnrnd产生随机的正态（高斯）分布二维矩阵，然后绘制出来。代码运行结果生成的正态分布实验数据如图：MATLAB代码：mu1 = [0 0];sigma1 = [4 2 ; 2 4];r1 = mvnrnd(mu1,sigma1,100);scatter(r1(:,1),r1(:,2),'r.');hold

主要使用了matlab的meshgrid和mesh网格绘制函数。matlab代码：xi=-20:0.5:20;yi=-20:0.5:20;[x,y]=meshgrid(xi,yi);z=(-x.^2-y.^2);mesh(x,y,z);代码运行结果如图：

我写的附录文章1简单介绍了K-means聚类算法。Matlab提供了专用函数kmeans用于聚类的质心。假设随机生成两维样本数据，然后用kmeans算出聚类并标记出质心：r1=randn(5,2)-2r2=randn(5,2)+2X=[r1;r2];opts = statset('Display','final');[idx,C] = kmeans(X,2,'Replicates',2,

AI神经网络激活函数sigmoid及matlab的sigmf神经网络中引入激活函数sigmoid作用是逻辑回归（logistic regression），引入非线性化。数学中的标准sigmoid输出范围是(0,1)。sigmoid的数学定义：在matlab中，对于sigmoid的定义实现是sigmf，但是sigmf包含多个参数：用MATLAB跑出不同的sigmoid函数曲线：x1=-10:0.1:

matlab三维山峰/山脉/山地曲面数据图可以使用peaks函数。比如直接peaks(80)：peaks(80) z = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ... - 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ... - 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2) peaks(80)的三维数据

经济金融领域简单数学建模和分析：MATLAB成本曲线方程和销售收入直线方程MATLAB代码：x=[0:0.1:5]; y=9*x; plot(x,y,'r','LineWidth',0.5)hold on;y=x.^3-6*x.^2+15*x;plot(x,y,'b','LineWidth',0.5)hold on;grid on;结果如图1：根据数学图形进行经济现象分析。

Machine Learning 之Logistic回归算法中最小二乘法的Matlab曲线拟合逻辑回归是机器学习（Machine Learning）中常见的机器学习算法，在处理逻辑回归（Logistic Regression）离散数据点集时，最常用的算法是最小二乘法。古代欧洲没有“平方”的叫法，“二乘”其实就是平方。逻辑回归是相对于线性回归而言，线性回归可以较好拟合连续值。但是现实世界中的数据样本

黎曼积分求解可微曲线的弧线长度假设曲线y=f(x)在区间[a,b]内光滑、可微且连续。那么可以根据微积分求解y=f(x)在a如图：从微分的思想入手建立数学函数式，假设s为曲线上(x,f(x))到(x+dx,f(x+dx))两点连线。这两点在水平方向的长度为dx，在垂直方向的y坐标轴长度为dy，根据直角三角形的勾股定理可知：其中，由f’(x)=dy/dx，得到dy =f’(x) dx从而：即ds的长

线性化微分数学解释Einstein狭义相对论质能方程E=MC^2要理解爱因斯坦在狭义相对论中的质能方程是如何推导出来的，需要先了解数学中的微分方程及其线性化方程的知识。现在先从最简单的微分方程开始。以简单的曲线方程y=x*x和它的切线方程为例。假设取y=x*x上一点(1,1)，过(1,1)点的切线方程很容易求得，根据一般的过曲线上点（a,f(a)）的切线方程公式：f(x)=f’(a)(x-a)+f

机器学习之线性回归的最小二乘法求解假设现在一个普通的一阶线性方程，y=2*x+2*t。t是随机噪音，生成的散列点(x,y)会沿直线y=2*x上下摆动。利用最小二乘法做一次简单的一阶“曲线”拟合。用matlab做数据实验：t=randn(1,101); x=[-10:0.2:10]; y=2*x+t*2; s=scatter(x,y); s.LineWidth = 0.6;

比值法判定无穷级数收敛/发散性质MATLAB定理：分析：收敛抑或发散？MATLAB：syms n f; f=(2^n+5)/3^n; L=limit(f,n,+inf)S=symsum(f,n,0,+inf) L = 0 S = 21/2