ybtoj【数学基础】5章3题【魔法珠】_ybtoj众所周知, 星图是一张有向图,由个点, 条边组成。星图的能量在不停地流动,-优快云博客

本文介绍了魔法珠的博弈游戏，重点讨论了有向图游戏中的SG函数和mex运算。通过解释SG函数的性质和SG定理，展示了如何解决这类问题。给出了直接计算SG值的暴力解法和构建SG值表的方法。

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魔法珠

题目

解析

这道题需要一个知识：有向图游戏，SG函数与mex运算
我们先从有向图游戏讲起：
在一个DAG中，只有一个起点，上面有一个棋子，两个玩家轮流推动棋子，不能推动判负
mex：
mex就是不属于集合S的最小非负整数，即
$mex(S)=min_{x∈N,x∉S}(x)$
SG函数：
对于状态 $x$ 及其 $k$ 个后继状态 $a_1,a_2...a_k$ ，定义SG函数
$SG(x)=mex(SG(a_1),SG(a_2)...SG(a_k))$
性质：
1，最终状态SG=0
2，必胜状态SG≠0必有一个后继状态SG=0
3，必败状态SG=0必无后继状态SG=0
SG定理：
对于由 $n$ 个有向图游戏组成的组合游戏，设它们的起点分别是 $s_1,s_2,...,s_n$ ，则
当且仅当 $SG(s_1)\;xor\;SG(s_2)\;xor\;...\;xor\;SG(s_n)≠0$ 时，先手必胜
证明：
1，最终局面显然成立
2，对于任意情况，显然可以取到该数-1，不能取到原数(否则等同于没取)，也就是NIM游戏
对于这道题，显然直接暴力SG即可
~~当然也可以打表写出SG值~~

code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,x,sg[1010],ans;
inline int SG(int x)
{
	if(sg[x]!=-1)return sg[x];
	int y=0;
	for(int i=1;i*i<=x;++i)if(!(x%i)){if(i!=x)y^=SG(i);if(i*i!=x&&i!=1)y^=SG(x/i);}
	bool ch[1010];memset(ch,0,sizeof(ch));
	for(int i=1;i*i<=x;++i)if(!(x%i)){if(i!=x)ch[SG(i)^y]=1;if(i*i!=x&&i!=1)ch[SG(x/i)^y]=1;}
	while(ch[++sg[x]]);
	return sg[x];
}
int main()
{
	for(int i=1;i<=1000;++i)sg[i]=-1;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		ans=0;
		while(n--)scanf("%d",&x),ans^=SG(x);
		printf(ans?("freda\n"):("rainbow\n"));
	}
	return 0;
}