红黑树学习笔记

参考了算法导论

以及

Algorithms, 4th Edition by Robert Sedgewick and Kevin Wayne

带关键字的结点为树的内结点。

叶子为树的外结点。相应的指针（p）域为NIL

如果一个结点是红的，那么它的两个儿子都是黑的

红黑树是由2-3树转化而来，红色结点代表该结点与父结点之间有个链接，本来该两个结点是连在一起的，相当于2-3数中的3-node（节点中存储两个值）。因为

2-3树实现不是很很方便，就转化成了红黑树。3-node存储的两个值中值较小的变成值较大的左子树，并且值较小的结点用红色表示

而若红色结点x的子结点是黑的，相当于该子结点绑定到红色结点，并且红色结点x绑定到父结点，那么相当于是4-node（存储了3个值,这就违背了

2-3树的性质）

Every leaf (NIL) is black.

每一个叶子结点是黑色的

来源算法导论

We call the number of black nodes on any simple path from, but not including, a node x down to a leaf the black-height of the node, denoted bh(x)

我们把从结点x到叶子结点的路径上的黑结点（不包括结点x)个数叫做结点x的黑高度，用bh(x)表示

红黑树高度的证明

参考算法导论

证明以x为根的子树至少有2^bh(x)-1个内部结点，bh(x)是结点x的黑高度

如果x的高度为0，那么x是leaf结点(nil)。这是bh(x)=0,子树的内部结点数=2^0-1=0

此时成立

考虑结点x，以及它的两个子结点

若子节点是黑色的，则子节点的black height=bh(x)-1

若子节点是红色的，则子节点的black height=bh(x)

以x为根的子树至少有有内部结点数

=2^(bh(x)-1)-1+2^(bh(x)-1)-1+1=2^(bh(x))-1。结论成立

从根到叶结点（不包括根）的简单路径上至少有一半的结点为黑色的（根据如果一个结点是红色的，则它的两个孩子都是黑的)。从而黑高度至少是h/2

n>=2^(h/2)-1

h<=2lg(n+1)

算法导论上TREE-DELETE过程

if p[y]=NIL

    then root[T]<---x

    else if y=left[p[y]]

                then left[p[y]]<---x

                else right[p[y]]<---x

看的时候觉得x只是y的某一个子树（可能y左子树右子树都不为空，此时y为左子树),那不是y的另一颗子树的信息丢失了。其实不然，

因为若y是TREE-SUCCESSOR(z)。那么z既有左子树又有右子树。

如果所有的关键字均不同，那么z的后继即为大于key[z]的关键字中最小的那个点。

z的后继这时出现在z的右子树中。

即y为z的右子树中的点。

若y既存在左子树，那么必然可以用y的左子树上的最小值的点来代替y作为z的successor。

这与y是z的successor矛盾，所以y不可能有左子树。

所以y只可能有右子树，不存在之前设想的y另一棵子树信息丢失的问题存在