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### 模型预测控制(MPC)概述 模型预测控制是种基于优化理论的先进控制策略,其核心思想是在每个采样时刻解决个有限时间范围内的最优控制问题[^1]。通过滚动优化的方式,在当前状态下计算未来段时间内的最佳输入序列,并仅应用第个控制动作于实际系统。 #### MPC 的基本组成要素 MPC 控制器的设计通常涉及以下几个关键部分: - **动态模型**:描述系统的动态行为,可以是离散化后的状态空间形式或其他适合的形式。 - **目标函数**:定义性能指标,通常是使跟踪误差最小化的二次代价函数。 - **约束条件**:包括输入、输出以及状态变量的物理限制。 这些组成部分共同构成了 MPC 的优化框架,使得它能够处理复杂的工业过程并满足严格的运行需求[^2]。 --- ### MPC 实现方法 为了实现 MPC 控制器,般遵循以下技术路线: #### 动态建模 假设被控对象可以用如下离散时间的状态空间表示: \[ \mathbf{x}_{k+1} = A\mathbf{x}_k + B\mathbf{u}_k, \quad \mathbf{y}_k = C\mathbf{x}_k + D\mathbf{u}_k \] 其中 \(A\) 和 \(B\) 是系统矩阵,\(C\) 和 \(D\) 表示测量关系,\(\mathbf{x}\) 为状态向量,\(\mathbf{u}\) 为输入向量,\(\mathbf{y}\) 为输出向量[^3]。 #### 构造优化问题 对于给定的时间窗口长度 \(N_p\) (预测步长),需构建如下的二次规划 (Quadratic Programming, QP) 问题: \[ J = \sum_{k=0}^{N_p-1} (\|\mathbf{r}_k-\mathbf{y}_k\|_Q^2+\|\Delta\mathbf{u}_k\|_R^2)+\|\mathbf{e}_{N_p}\|_P^2 \] 这里的目标是最小化轨迹偏差和控制变化率的影响,权重矩阵 \(Q,R,P\) 分别对应输出误差、控制增量和平稳终端成本项[^1]。 #### 使用工具包求解 现代软件环境提供了多种高效算法来快速求解上述 QP 问题。例如 Python 中有 `CasADi` 库支持自动生成梯度信息从而加速收敛速度;MATLAB 则内置了 fmincon 或 quadprog 函数用于数值运算[^4]。 下面给出段简单的 MATLAB 示例代码展示如何利用 CasADi 工具箱完成双积分系统的 MPC 设计: ```matlab % 定义符号变量 nx = 2; nu = 1; x = SX.sym('x', nx); u = SX.sym('u', nu); sys = integrator(x,u); % 设置参数 Tf = .5; Np = 10; dt = Tf/Np; % 创建优化实例 opti = casadi.Opti(); X = opti.variable(nx,Np+1); U = opti.variable(nu,Np); J = sum((X(1,:)-ref).^2*dt)+sum(U.^2)*gamma; for k=0:Np-1, % 添加动力学约束 opti.subject_to(X(:,k+2)==... sys.map(Np)(X(:,k+1),U(:,k))); end % 边界条件和其他限制 opti.set_initial(randn(nx,1)); opti.solver('ipopt'); sol = opti.solve(); disp(sol.value(U)); % 输出结果 ``` 此脚本展示了从零开始搭建整个流程的过程,具体细节可根据项目调整适应不同场景的应用需求。 --- ###
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