特征向量的数值求法

最新推荐文章于 2024-06-14 10:27:32 发布

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本文介绍了数值求解方阵特征值和特征向量的方法，主要讨论了幂法及其收敛速度、Aitken加速法，以及平移反幂法的应用。通过迭代过程，可以计算出矩阵的主特征值和主特征向量，对于特定情况，如特征值接近或为复数，需要用到更高级的算法。同时提供了求解的实例和相关代码示例。

-对于正定的对称矩阵，奇异值等于特征值，奇异向量等于特征向量。在这种情况下用奇异值分解就把特征值和特征向量求出来了。但是只要是方阵，它就有特征值和特征向量，对于一般的方阵，特征值和特征向量怎么求呢（当然我指的是数值求法）？这就要用本文即将介绍的“幂法”。

Power Method幂法

Definition 如果λ₁是矩阵A的所有特征值中绝对值最大的那一个，则称λ₁是A的主特征值；与λ₁对应的特征向量v₁是A的主特征向量。

幂法是用来计算方阵的主特征值（即绝对值最大的特征值）和主特征向量的。由此延伸出来的反幂法用来计算在给定点附近的特征值和特征向量（下文把“特征值和特征向量”简称为“特征对”）。

Definition 特征向量V的归一化是指：V的每一个元素除以V中绝对值最大的那个元素。

Theorem(Power Method) 设A是n×n的方阵，有n个不同的特征值，且|λ1| > |λ2| >= |λ3| >= ... >= |λn|。选择一个合适的X₀，序列 $\{X_k=(x_1^{(k)},x_2^{(k)},...,x_n^{(k)})^T\}$ 和{c_k}由下列递归式产生：

$Y_k=AX_k\qquad(1)$

$X_{k+1}=\frac{1}{c_{k+1}}Y_k\qquad(2)$

其中 $c_{k+1}=\underset{1\le{i}\le{n}}{max}\{|x_i^{(k)}|\}$

经过多次迭代后X_k趋于主特征向量V₁，c_k趋于主特征值λ₁。

Remark 如果X₀选取的刚好是一个特征向量，且X₀又不是主特征向量，则X₀需要重新选取。

Speed of Convergence收敛加速

幂法的收敛速度取决于 $\frac{|\lambda_1|}{|\lambda_2|}$ ，也就是说它的收敛速度是线性的。Aitken $\bigtriangleup{^2}$ 加速法可用于任何线性收敛的序列当中，它采用的加速方式是：

用Aitken来加速我们的幂法，X_k的调整公式为：

$\hat{x_j^{(k)}}=x_j^{(k)}-\frac{(x_j^{(k)}-x_j^{(k-1)})^2}{x_j^{(k)}-2x_j^{(k-1)}+x_j^{(k-2)}},x_j^{(k)}\ne1$

Shifted-Inverse Power Me

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