了解堆和堆排序

什么是堆？

堆是一个完全二叉树。
堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。
对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做大顶堆。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做小顶堆。

堆的存储方式

既然堆是一种完全二叉树，由于完全二叉树可以用数组来存储，所以堆可以用数组存储。数组中下标为 i 的节点的左子节点，就是下标为 i*2 的节点，右子节点就是下标为 i*2+1 的节点，父节点就是下标为 i/2 的节点。

堆化和删除堆顶元素

1、往堆中插入一个元素（堆化）
就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。把新插入的数据放到数组的最后，然后从下往上堆化；

public class Heap {
  private int[] a; // 数组，从下标1开始存储数据
  private int n;  // 堆可以存储的最大数据个数
  private int count; // 堆中已经存储的数据个数

  public Heap(int capacity) {
    a = new int[capacity + 1];
    n = capacity;
    count = 0;
  }

  public void insert(int data) {
    if (count >= n) return; // 堆满了
    ++count;
    a[count] = data;
    int i = count;
    while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化
      swap(a, i, i/2); // swap()函数作用：交换下标为i和i/2的两个元素
      i = i/2;
    }
  }
 }

2、删除堆顶元素
删除堆顶数据的时候，我们把数组的最后一个元素放到堆顶，然后从上往下堆化。
插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)。

public void removeMax() {
  if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据
  a[1] = a[count];
  --count;
  heapify(a, count, 1);
}

private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

堆排序

堆排序是一种原地排序算法，平均时间复杂度为O(nLogN),和快速排序的平均时间复杂度接近。

堆排序的过程大致分为两步：建堆和排序

我们将下标从n/2到1的节点，一次进行从上到下的堆化操作，然后将数组中的数据组织成堆这种数据结构。接下来，我们迭代的将堆顶元素放到堆的末尾，并将堆的大小减1
然后再堆化，重复这个过程，直到堆中只剩下一个元素，整个数组中的数据就有序排列了。

private static void buildHeap(int[] a, int n) {
  for (int i = n/2; i >= 1; --i) {
    heapify(a, n, i);
  }
}

private static void heapify(int[] a, int n, int i) {
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

// n表示数据的个数，数组a中的数据从下标1到n的位置。
public static void sort(int[] a, int n) {
  buildHeap(a, n);
  int k = n;
  while (k > 1) {
    swap(a, 1, k);
    --k;
    heapify(a, k, 1);
  }
}

堆排序和快速排序的比较

一、堆排序数据访问方式没有快速排序友好
快速排序数据是顺序访问的，而堆排序，数据是跳着访问的。因此对CPU的缓存是不友好的。
二、同样的数据，排序过程中，堆排序算的数据交换次数要多于快速排序