tensorflow ---y=kx+b

本文通过使用TensorFlow实现线性回归模型,演示了如何利用Python及其相关库(如NumPy和Matplotlib)来拟合一组随机生成的数据点。文中详细介绍了模型构建、损失函数定义、优化器选择及训练过程,并通过可视化展示了训练效果。
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import tensorflow as tf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt 

#样本
#使用NUMPY 生产100个随机点
x_data = np.random.rand(60)
#直线模型 K=0.1 常量为0.3
y_data = x_data*1.30000023 +0.300220

#优化接近或等于样本
#构造一个线性模型
b = tf.Variable(0.)
k = tf.Variable(0.)
y = k*x_data + b

#二次代价函数 优化过程
# 求平均平方(误差(真实y_data -y预测值))
loss = tf.reduce_mean(tf.square(y_data -y ))#求平均值
#定义一个梯度下降法进行训练的优化器 学习域0.2
optimizer =tf.train.GradientDescentOptimizer(0.2)

#最小化代价函数 loss 越小接近真实模型
train =optimizer.minimize(loss)
#初始化变量
init = tf.global_variables_initializer()
with tf.Session() as sess:
    sess.run(init)
        #可视化
    #生成图片框架
    fig = plt.figure()
    #连续的画图
    ax =fig.add_subplot(1,1,1)

    #使用点来打印原始的数据线条
    ax.scatter(x_data,y_data)
    #连续plt
    #python 3
    plt.ion()
    #python 2 block= False
    #plt.show(block= False)
    plt.show()
    
    for step in range(300):
        sess.run(train)
        #画出预测数据
        if(step%10 == 0):
            print(step ,sess.run([k,b]))

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TensorFlow 是由Google Brain 团队开发的开源机器学习框架,广泛应用于深度学习研究和生产环境。 它提供了一个灵活的平台,用于构建和训练各种机器学习模型

7-4 Sigmoid函数及其梯度 7-4 Sigmoid函数及其梯度 分数 10 作者 陈浩川 单位 厦门大学 为了方便表述,对于作用于矩阵的激活函数,本文中如果无特殊说明,表示它分别作用于矩阵的每个元素,即f(X) i,j ​ =f(X i,j ​ )。 如果没有非线性函数作为激活函数,那么无论多层感知机(MLP)有多少层,都相当于没有隐藏层。比如,具有一个隐藏层的多层感知机y=f 2 ​ (f 1 ​ (X×A)×B),如果f 1 ​ (x)=kx+b,即它是一个线性函数,我们将其带入公式中可以得到y=f 2 ​ ((kX×A+b×1)×B)=f 2 ​ (kX×A×B+b×1×B),其中1表示所有元素都是1的矩阵。令C=kA×B, c ˉ =b×1×B,那么y=f 2 ​ (X×C+ c ˉ ),显然又变成了单层神经网络,网络的表达能力被大大的削弱了,由此可见非线性激活函数对于神经网络的重要性。 最经典的激活函数莫过于Sigmoid函数σ(x)= 1+exp(−x) 1 ​ ,它在x=0附近从0到1剧烈变化,通常用于0-1分类任务。它的导函数也十分容易求得,请你自己推导。 320px-Logistic-curve.svg.png Sigmoid函数图形,来自Wikipedia - Sigmoid function 现在给出矩阵A∈R m×n 和矩阵B∈R n×p ,记它们的积为C=AB,求σ(C)以及它分别对C、A、B的梯度∇ C ​ σ、∇ A ​ σ、∇ B ​ σ。 输入格式: 第一行给出三个整数m,n和p,均不大于10 2 。然后跟随着一个空行。 随后m行以行主序给出矩阵A中的元素,每行n个元素,元素间用空格分隔。然后跟随着一个空行。 随后n行以行主序给出矩阵B中的元素,每行p个元素,元素间用空格分隔。 输出格式: 首先输出作用Sigmoid函数后的乘积矩阵σ(C),共m行,每行p个元素, 每个元素间后都紧随着一个空格,每行以换行结尾。最后额外输出一个空行。 然后输出矩阵∇ C ​ σ,共m行,每行p个元素, 每个元素间后都紧随着一个空格,每行以换行结尾。最后额外输出一个空行。 接着输出矩阵∇ A ​ σ,共m行,每行n个元素, 每个元素间后都紧随着一个空格,每行以换行结尾。最后额外输出一个空行。 最后输出矩阵∇ B ​ σ,共n行,每行p个元素, 每个元素间后都紧随着一个空格,每行以换行结尾。最后额外输出一个空行。 输出元素均保留小数点后2位。 输入样例: 2 2 3 0.1 0.2 -0.3 0.4 1 2 3 3 2 1 输出样例: 0.67 0.65 0.62 0.71 0.55 0.38 0.22 0.23 0.24 0.21 0.25 0.24 1.38 1.36 1.41 1.35 -0.04 -0.05 -0.05 0.13 0.14 0.14
最新发布
03-28
<think>嗯,用户的问题是关于如何实现Sigmoid函数作用于矩阵乘法的结果,并计算关于矩阵C、A、B的梯度。我需要仔细分析这个问题,并给出详细的数学推导和程序实现方法。 首先,用户提到了Sigmoid函数,我需要回忆一下Sigmoid的定义和它的导数。Sigmoid函数通常写作$\sigma(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$,它的导数是$\sigma'(z) = \sigma(z)(1 - \sigma(z))$。这点我记得没错,但需要确认是否正确,特别是在多维情况下如何处理。 接下来,问题涉及矩阵乘法,比如矩阵C、A、B的组合。用户可能是指某种形式的矩阵乘积,比如$C = A \cdot B$,或者可能是一个更复杂的表达式,比如$Z = C \cdot A \cdot B$?这里需要明确变量之间的关系。假设Z是这些矩阵相乘的结果,那么Sigmoid函数将应用于Z的每个元素。例如,$S = \sigma(Z)$,其中$Z = C \cdot A \cdot B$。但用户的具体表达式可能需要进一步澄清。假设用户的意思是Z由这三个矩阵相乘组成,比如Z = C * A * B,其中矩阵的维度需要满足乘法规则,例如C是m×n,A是n×p,B是p×q,那么Z会是m×q矩阵。不过这可能因具体结构而异,可能需要更明确的定义。 接下来是梯度计算的部分。用户想要计算Sigmoid函数输出关于C、A、B的梯度。这涉及到链式法则的应用,因为Sigmoid作用于矩阵乘法后的结果。需要先计算Sigmoid对Z的导数,然后通过Z对C、A、B的导数来应用链式法则。 首先,考虑Sigmoid函数对Z的导数。因为Sigmoid是逐元素应用的,所以它的导数是对每个元素的导数,形成一个对角矩阵,或者更实际地说,在矩阵运算中,可能表现为Hadamard乘积(元素相乘)。例如,如果S = σ(Z),则dS/dZ是一个对角矩阵,其中每个对角线元素是σ(z_ij)(1 - σ(z_ij)),但实际操作中,这可能被表示为相同形状的矩阵,S * (1 - S)。 然后,计算Z关于C、A、B的梯度。假设Z = C * A * B,那么对于每个矩阵的梯度计算,需要考虑矩阵乘法的导数规则。例如,对于Z = C A B,假设矩阵乘积的顺序正确,那么对于C的梯度,需要计算dL/dC,其中L是损失函数。但用户的问题可能更直接,即计算Sigmoid输出的梯度,而不仅仅是损失函数。不过可能用户的问题是关于前向计算后的梯度,比如在反向传播中的梯度计算。 需要明确的是,这里的梯度计算可能是在自动微分框架(如TensorFlow或PyTorch)中实现的,但用户希望手动推导数学过程,并给出程序实现。 因此,数学推导步骤可能如下: 1. 定义前向计算:Z = C * A * B,然后S = σ(Z) 2. 计算梯度∂S/∂C、∂S/∂A、∂S/∂B,这需要应用链式法则,即∂S/∂C = ∂S/∂Z * ∂Z/∂C,同理其他矩阵。 但需要更详细地展开每个步骤。例如,Z = C * A * B,其中假设这三个矩阵的乘积是可行的,即C的列数等于A的行数,A的列数等于B的行数,或者其他组合。但具体的维度可能需要用户明确,或者假设为通用的矩阵乘法顺序。 不过,可能存在不同的情况,比如Z = C + A * B,或者Z = C * (A + B)等不同的组合方式。但根据用户的问题描述,可能更可能是Z = C * A * B,所以需要处理三个矩阵的乘积。 或者,用户的问题可能是指Z = CAB,其中C、A、B都是矩阵,那么Z的计算顺序是C乘A再乘B。这种情况下,对每个矩阵的梯度计算需要考虑矩阵乘法的导数规则。 例如,对于Z = C * A * B,那么计算∂Z/∂C的时候,因为Z是C乘A乘B,假设A和B是中间矩阵,那么导数可能涉及A和B的转置。但矩阵导数的计算比较复杂,通常使用维度匹配的方法,或者利用迹(trace)的导数性质。不过这可能比较复杂,需要更仔细的推导。 或者,考虑使用链式法则,将Z视为多个矩阵相乘的结果,逐步求导。例如,先计算M = C * A,然后Z = M * B,那么对C的梯度可以通过∂Z/∂C = ∂Z/∂M * ∂M/∂C。而∂Z/∂M是B^T,所以最终的梯度可能涉及到B的转置和A的转置相乘等步骤。 不过这可能变得很复杂,尤其是对于三个矩阵的乘积。因此,可能需要更系统的方法来处理矩阵导数的计算。 首先,假设前向过程为: $$ Z = C \cdot A \cdot B $$ 其中,$C \in \mathbb{R}^{m \times n}$,$A \in \mathbb{R}^{n \times p}$,$B \in \mathbb{R}^{p \times q}$,因此Z的维度是$m \times q$。 然后,应用Sigmoid函数逐元素到Z,得到: $$ S = \sigma(Z) $$ 现在需要计算损失函数L对C、A、B的梯度,但用户的问题可能只是计算S对C、A、B的梯度,但通常在实际中,梯度是损失函数对参数的梯度。但用户的问题可能更直接,即如何计算Sigmoid输出的梯度关于输入矩阵C、A、B。因此,假设这里的梯度是dS/dC、dS/dA、dS/dB。或者,可能是假设有一个标量损失函数L,计算dL/dC等,但用户的问题可能更偏向于自动微分中的梯度计算,即给定上游梯度,如何计算每个参数的梯度。 但根据用户提供的引用内容,例如引用[1]中提到激活函数求导是对角矩阵,因为F(X)对X求导是对每个元素的操作,所以这里Sigmoid的导数应该是对Z的逐元素导数,形成对角矩阵,但实际计算中可能用Hadamard乘积。 回到问题,首先计算S对Z的梯度,即dS/dZ,这里是一个元素级别的导数,每个元素是σ(z_ij)*(1 - σ(z_ij)),所以可以表示为S * (1 - S),其中*表示逐元素乘法。 然后,需要计算Z关于C、A、B的梯度,即dZ/dC、dZ/dA、dZ/dB,然后将它们dS/dZ相乘(链式法则)。不过,在矩阵微积分中,链式法则的应用需要考虑维度的匹配,可能需要转置或其他操作。 对于Z = C A B,计算dZ/dC: 假设我们想求∂Z/∂C,这涉及到矩阵的导数。通常,矩阵导数会涉及到将矩阵展开为向量,然后求雅可比矩阵,但这样可能比较复杂。另一种方法是使用维度分析,假设有一个标量损失L,那么dL/dC = (dL/dZ) * (dZ/dC)。在矩阵形式中,这可能表示为: dL/dC = (dL/dZ) \cdot (A B)^T 但这里的维度需要匹配。假设dL/dZ是m×q的矩阵,而A B是n×q的矩阵(因为A是n×p,B是p×q,所以A B是n×q),所以转置后是q×n。那么dL/dC = (dL/dZ) * (A B)^T 的维度是m×n,C的维度一致。这可能适用于当Z = C * (A B),即C乘以A B的结果,此时C是m×n,A B是n×q,所以Z是m×q。此时,dZ/dC的导数涉及到A B的转置,因为对于每个元素Z_ik = sum_j C_ij (A B)_jk,因此,导数∂Z_ik / ∂C_ij = (A B)_jk。当计算梯度时,对于dL/dC,需要将dL/dZA B的转置相乘,即: dL/dC = (dL/dZ) * (A B)^T 同理,如果Z的结构不同,比如Z = C * A * B,即三个矩阵相乘,可能需要更复杂的处理。例如,如果Z = C * A * B,那么可以将其视为两次矩阵乘法:首先计算M = C * A,然后计算Z = M * B。此时,dZ/dC可以通过链式法则来计算: dZ/dC = dZ/dM * dM/dC 其中,dZ/dM = B^T(类似于全连接层的梯度),而dM/dC 是A^T,因此总的梯度为 B^T * A^T。不过,这可能涉及到矩阵乘法的顺序问题。 或者,使用更系统的方法。假设Z = C A B,那么对于每个元素Z_ik = sum_j sum_l C_ij A_jl B_lk。那么,计算∂Z_ik / ∂C_mn 就是当i=m且j=n时,sum_l A_nl B_lk,即 (A B)_{n k}。所以,当计算梯度时,对于每个C中的元素C_mn,梯度是sum_{ik} (dL/dZ_ik) * (A B)_{n k}。这可能转化为矩阵乘法:dL/dC = (dL/dZ) * (A B)^T。 同样,计算dZ/dA:假设Z = C A B,那么A位于中间。对于元素A_jl,它的贡献是sum_i sum_k C_ij B_lk Z_ik。或者,更直接的方法是考虑dL/dA = C^T * (dL/dZ) * B^T。这类似于当Z = C A B时,A的梯度是C的转置乘以dL/dZ乘以B的转置。例如,在中间变量M = C A,则Z = M B。此时,dZ/dA = C^T * (dZ/dM) * B^T,但可能需要更仔细的推导。 这部分可能需要更详细的数学推导,比如利用矩阵微积分的规则。例如,对于Z = C A B,根据矩阵乘积的导数规则,如果损失函数L对Z的梯度是G(即dL/dZ = G),那么: dL/dC = G * (A B)^T dL/dA = C^T * G * B^T dL/dB = (C A)^T * G 这可能是因为: 当Z = C A B,那么对于dL/dC,每个元素C_ij的梯度是sum_{k,l} G_ik * A_jl B_lk,这等于矩阵乘积G (A B)^T的第i,j元素。 同理,dL/dA是C^T G B^T,因为A在中间的位置,所以需要前后矩阵的转置相乘。 同理,dL/dB是A^T C^T G,但可能要考虑顺序,或者更准确地说,是 (C A)^T G,然后转置? 这里可能需要更严谨的数学推导。例如,使用向量化方法或者利用矩阵导数的公式。 假设我们使用向量化方法,将矩阵转换为向量。对于Z = C A B,可以表示为vec(Z) = (B^T ⊗ C) vec(A),其中⊗表示Kronecker积。但这种方法可能比较复杂。 另一种方法是利用标量导数的链式法则。例如,考虑L是一个标量损失函数,那么: ∂L/∂C_ij = sum_{k,l} (∂L/∂Z_kl) * ∂Z_kl/∂C_ij 而Z_kl = sum_p sum_q C_kp A_pq B_ql 因此,∂Z_kl/∂C_ij = δ_ki * A_jq B_ql 的求和?或者更准确地说,当i=k时,C_kp 中的p=j时,项为A_jq B_ql,所以总和为 sum_q A_jq B_ql,即 (A B)_{j l}。因此,∂Z_kl/∂C_ij = δ_ki (A B)_{j l}。因此,∂L/∂C_ij = sum_{kl} G_kl δ_ki (A B)_{j l} = sum_l G_il (A B)_{j l} = (G (A B)^T)_{i j}。所以,dL/dC = G (A B)^T,其中G是dL/dZ。 同样,计算dL/dA: Z_kl = sum_p C_kp A_pq B_ql 的和是对于p和q的求和?或者可能Z的结构需要更明确。假设Z = C * A * B,其中C是m×n,A是n×p,B是p×q,那么Z的大小是m×q。那么Z_kl = sum_{i=1}^n sum_{j=1}^p C_ki A_ij B_jl。或者,Z = C * (A * B),所以A*B是n×q矩阵,然后C是m×n,所以Z = C*(A*B)是m×q。在这种情况下,Z的每个元素Z_kl = sum_{i=1}^n C_ki (A B)_{i l} = sum_{i=1}^n C_ki sum_{j=1}^p A_ij B_jl. 那么,对于A的导数,考虑A_rs: ∂Z_kl/∂A_rs = sum_{i=1}^n C_ki * ∂(sum_j A_ij B_jl)/∂A_rs = sum_i C_ki * B_sl δ_ir δ_js → 当i=r,j=s时,导数为 C_kr B_sl δ_js。但可能这里需要更仔细的计算。或者,因为 A_ij 是A的元素,所以当计算Z_kl = sum_i C_ki (sum_j A_ij B_jl),因此对A_rs的导数是 C_kr B_sl。因此,∂Z_kl/∂A_rs = C_kr B_sl。因此,∂L/∂A_rs = sum_{kl} G_kl C_kr B_sl = sum_k C_kr (sum_l G_kl B_sl) = sum_k C_kr (G B^T)_{k s} = (C^T (G B^T))_{r s}。因此,dL/dA = C^T G B^T. 同样,对于B的导数: Z_kl = sum_i C_ki (sum_j A_ij B_jl). 对于B_jl的导数,∂Z_kl/∂B_jl = sum_i C_ki A_ij. 因此,∂L/∂B_jl = sum_k G_kl (sum_i C_ki A_ij) = sum_i A_ij (sum_k C_ki G_kl) = sum_i A_ij (C^T G)_{i l} = (A^T C^T G)_{j l}。所以,dL/dB = A^T C^T G。或者,可能因为矩阵乘积的顺序不同,需要转置。例如,C^T G 是 n×q,然后乘以 A^T(p×n)的话,可能得到 p×q。所以,dL/dB = (C A)^T G ? 或者,可能更简单的方式是,当Z = C A B,那么: dL/dB = A^T C^T G,其中G是dL/dZ。不过这可能涉及到矩阵乘积的顺序。例如,当Z = C A B,那么计算梯度时,根据链式法则,dL/dB = (C A)^T * dL/dZ。例如,在反向传播中,如果Z = M B,其中M = C A,那么dL/dB = M^T * dL/dZ = (C A)^T * G。因此,dL/dB = (C A)^T G。 现在,回到用户的问题,Sigmoid函数的梯度是S * (1 - S),即dS/dZ = S ⊙ (1 - S),其中⊙表示逐元素相乘。然后,假设上游梯度是dL/dS,那么dL/dZ = dL/dS ⊙ (S ⊙ (1 - S))。然后,根据前面的推导,dL/dC = dL/dZ * (A B)^T,dL/dA = C^T * dL/dZ * B^T,dL/dB = (C A)^T * dL/dZ。 不过用户的问题可能没有提到损失函数,而是直接计算Sigmoid输出的梯度,即假设上游梯度是单位矩阵,或者直接计算∂S/∂C等。在这种情况下,可能每个元素的梯度是σ'(Z) * ∂Z/∂C等,但这可能对应于雅可比矩阵,但实际应用中通常是计算梯度相对于标量损失函数,所以可能需要假设这里的梯度计算是在一个自动微分的框架下,例如使用TensorFlow或PyTorch的GradientTape。 现在,结合程序实现,用户需要如何实现这个过程。例如,在TensorFlow中,可以定义变量C、A、B,计算Z = tf.matmul(C, tf.matmul(A, B)),然后应用Sigmoid得到S。然后,使用GradientTape来计算梯度。代码可能如下: import tensorflow as tf # 定义矩阵C, A, B C = tf.Variable(...) A = tf.Variable(...) B = tf.Variable(...) with tf.GradientTape(persistent=True) as tape: Z = tf.matmul(C, tf.matmul(A, B)) S = tf.sigmoid(Z) # 计算梯度 dS_dC = tape.gradient(S, C) dS_dA = tape.gradient(S, A) dS_dB = tape.gradient(S, B) 但这样直接计算梯度可能得到的是整个S对每个参数的梯度,这在数学上可能对应雅可比矩阵,但实际在深度学习中,通常计算的是标量损失函数的梯度。不过,如果S是一个矩阵,那么tape.gradient(S, C)将计算S中所有元素对C的梯度之和,这可能不是用户想要的。或者,如果用户想要每个元素的梯度,可能需要更细致的处理,但通常自动微分框架会计算求和后的梯度,因为默认情况下,当目标是非标量时,会计算其各元素对变量的梯度的和。 因此,如果用户需要计算∂S/∂C等,可能需要明确说明每个元素如何计算,但在实际编程中,通常由框架自动处理。因此,程序实现部分可能较为直接,而数学推导部分需要详细说明链式法则的应用。 总结数学推导步骤: 1. 前向计算:Z = C A B,S = σ(Z) 2. 计算梯度∂S/∂Z = S ⊙ (1 - S) 3. 通过链式法则计算∂S/∂C = ∂S/∂Z ⊙ ∂Z/∂C,但这里的矩阵导数需要正确应用。根据之前的推导,实际梯度计算应为: - ∂S/∂C = (S ⊙ (1 - S)) * (A B)^T - ∂S/∂A = C^T * (S ⊙ (1 - S)) * B^T - ∂S/∂B = (C A)^T * (S ⊙ (1 - S)) 但需要注意的是,这些公式可能是在假设上游梯度为全1矩阵的情况下,或者根据自动微分框架的处理方式。例如,当计算S对C的梯度时,每个元素S_ij对C_kl的梯度涉及到链式法则的累积。 不过,可能更准确的是,对于每个参数矩阵,梯度是上游梯度(即∂S/∂Z)对应矩阵乘法导数的乘积。例如: - dS/dC = (dS/dZ) * (A B)^T - dS/dA = C^T * (dS/dZ) * B^T - dS/dB = (C A)^T * (dS/dZ) 这部分的推导需要确认矩阵乘积的顺序和转置是否正确。 程序实现部分,使用TensorFlow或PyTorch可以自动计算这些梯度。例如,在TensorFlow中,使用GradientTape来记录计算过程,然后计算S对各个变量的梯度。需要注意的是,如果S是一个矩阵,则默认情况下,tape.gradient(S, C)会计算所有元素梯度的和,这可能不是用户想要的。但如果用户需要每个元素的独立梯度,可能需要逐个元素计算,但通常这在深度学习中并不常见,因为通常使用标量损失函数。 因此,可能用户的问题更关注于数学推导,而程序实现部分则利用自动微分框架自动计算梯度。因此,回答需要包括数学推导和对应的代码实现。 例如,数学推导部分: 假设Z = C A B,S = σ(Z),那么: ∂S/∂Z = S ⊙ (1 - S) 对于梯度计算: - ∂S/∂C = (S ⊙ (1 - S)) * (A B)^T - ∂S/∂A = C^T * (S ⊙ (1 - S)) * B^T - ∂S/∂B = (C A)^T * (S ⊙ (1 - S)) 但需要验证这些公式是否正确。例如,考虑∂Z/∂C的导数是否为A B的转置。假设Z = C * (A B),则∂Z/∂C的导数确实等于A B的转置,因此梯度计算正确。 程序实现部分,可以使用TensorFlow的GradientTape,并注意矩阵的初始化和形状是否正确。例如: import tensorflow as tf # 初始化矩阵(假设维度为C: m×n, A: n×p, B: p×q) m, n, p, q = 2, 3, 4, 5 C = tf.Variable(tf.random.normal((m, n))) A = tf.Variable(tf.random.normal((n, p))) B = tf.Variable(tf.random.normal((p, q))) with tf.GradientTape(persistent=True) as tape: Z = tf.matmul(tf.matmul(C, A), B) S = tf.sigmoid(Z) # 计算梯度 grad_C = tape.gradient(S, C) grad_A = tape.gradient(S, A) grad_B = tape.gradient(S, B) # 打印梯度形状 print("dS/dC shape:", grad_C.shape) # 应该C的shape相同 (m, n) print("dS/dA shape:", grad_A.shape) # 应该A的shape相同 (n, p) print("dS/dB shape:", grad_B.shape) # 应该B的shape相同 (p, q) 但需要注意,这里的grad_C、grad_A、grad_B实际上是S中所有元素对各个参数的梯度之和。如果用户需要每个元素的独立梯度,可能需要更复杂的处理,但通常这在自动微分中不太常见,除非特别指定。 此外,用户提供的引用中,引用[1]提到激活函数的导数是对角矩阵,引用[2]给出了Sigmoid和交叉熵损失的例子,引用[3]提到使用GradientTape进行梯度计算。因此,在回答中需要结合这些引用,尤其是引用[1]中关于对角矩阵的解释,即在Sigmoid的导数中,每个元素独立,因此梯度计算可以分解为逐元素乘法。 总结,回答应包括: 1. 数学推导: - 前向计算Z = C A B,S = σ(Z) - 计算σ的导数:dS/dZ = S ⊙ (1 - S) - 应用链式法则计算各矩阵的梯度 2. 程序实现: - 使用TensorFlow的GradientTape记录计算过程 - 计算梯度并验证形状 3. 引用相关文献,例如激活函数求导是对角矩阵的说明,来自引用[1]。 最后,确保回答符合用户的要求,包括数学推导的详细步骤和程序实现,并正确引用提供的参考资料。</think>### 数学推导实现方法 #### 1. 前向计算 设输入矩阵为$C \in \mathbb{R}^{m \times n}$,$A \in \mathbb{R}^{n \times p}$,$B \in \mathbb{R}^{p \times q}$,定义矩阵乘法Sigmoid激活函数: $$ Z = C \cdot A \cdot B \quad \text{和} \quad S = \sigma(Z) $$ 其中$\sigma(z_{ij}) = \frac{1}{1+e^{-z_{ij}}}$逐元素作用于$Z$。 #### 2. Sigmoid的梯度 Sigmoid的导数为对角矩阵形式,每个元素独立: $$ \frac{\partial S}{\partial Z} = S \odot (1 - S) $$ 其中$\odot$表示逐元素乘法[^1]。 #### 3. 矩阵乘法的梯度计算 通过链式法则,梯度可分解为: 1. **关于$C$的梯度**: $$ \frac{\partial S}{\partial C} = \left( S \odot (1 - S) \right) \cdot (A \cdot B)^T $$ 2. **关于$A$的梯度**: $$ \frac{\partial S}{\partial A} = C^T \cdot \left( S \odot (1 - S) \right) \cdot B^T $$ 3. **关于$B$的梯度**: $$ \frac{\partial S}{\partial B} = (C \cdot A)^T \cdot \left( S \odot (1 - S) \right) $$ #### 4. 程序实现(TensorFlow) ```python import tensorflow as tf # 定义矩阵维度(示例:C为2x3,A为3x4,B为4x5) m, n, p, q = 2, 3, 4, 5 C = tf.Variable(tf.random.normal((m, n))) A = tf.Variable(tf.random.normal((n, p))) B = tf.Variable(tf.random.normal((p, q))) with tf.GradientTape(persistent=True) as tape: # 前向计算 Z = tf.matmul(tf.matmul(C, A), B) # Z = C·A·B S = tf.sigmoid(Z) # 计算梯度 grad_C = tape.gradient(S, C) # ∂S/∂C grad_A = tape.gradient(S, A) # ∂S/∂A grad_B = tape.gradient(S, B) # ∂S/∂B # 验证梯度形状 print("dS/dC shape:", grad_C.shape) # (m, n) print("dS/dA shape:", grad_A.shape) # (n, p) print("dS/dB shape:", grad_B.shape) # (p, q) ``` #### 5. 关键点说明 - **逐元素操作**:Sigmoid的梯度$\frac{\partial S}{\partial Z}$是对角矩阵,实际计算退化为逐元素乘法。 - **链式法则**:通过矩阵乘法顺序调整(如转置)匹配维度,例如$A \cdot B$的转置$(A \cdot B)^T$确保梯度$\frac{\partial S}{\partial C}$$C$维度一致。 - **自动微分验证**:使用`tf.GradientTape`可自动验证梯度计算的正确性[^3]。
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