基于Floyd算法的最小费用流的负回路算法（图解）

屈婉玲《算法设计与分析》第2版第7章网络流算法学习笔记。

概述

最小费用流问题，可视为一般化的最短路径问题和最大流问题，即只要选定合适的权重、容量、流量，解决最小费用流的方法就能用来解决上述问题。另一方面，也意味着解最小费用流问题至少和解最短路径或最大流问题一样难。

显然可以用来解决物流运输最小成本问题，除此之外还有广泛应用，比如劳动力分配问题：

劳动力和任务间用边连接，费用为工人对任务的讨厌程度（当不可能干某任务时可以是∞），流量是完成任务需要的小时数。

定义

容量-费用网络：N={V, E, c, w, s, t}
在容量网络N={V, E, c, s, t}中，添加单位费用w，将其称作容量-费用网络。

费用：w(f)
设f是N上的一个可行流，w(f)=∑ w(i, j) * f(i, j) 为f的费用。

流量v0的最小费用流：
给定流量v0的可行流中，费用最小的称作流量v0的最小费用流。

算法思想

先任意找出一个流量为v0的可行流。如何找呢？利用最大流算法，找出最大流f，若v(f)<v0，最大流量都达不到v0，说明无解；若v(f)>=v0，只需将v(f)修剪成与v0相等即可。

接下来构造残余容量网络：前向边的残余容量为c - f，后向边的残余容量为f；前向边的费用为w, 对应后向边的费用为-w。

前向边表示增加流会发生什么，后向边表示减少流会发生什么。

寻找一个有正向残余容量和负代价的回路（负回路），尽可能增加回路上的流量（增加前向边的流量，减少后向边的流量）。重复上述操作直到找不到负回路为止。

关键便是寻找负回路。“回路”意味着流量不用额外增加或减少，“负”意味着流量越大费用越小。要想求最小费用流，只需将所有负回路上的流量调到最大即可。

如何找负回路呢？Floyd算法可以完美解决，参考：多源最短路径Floyd算法（可用于找负回路） C++实现

例子

1. 给定容量-费用网络N及其流量v0=8的可行流f，此时w(f) = 5 * 3 + 3 * 3 + 5 * 3 + 3 * 1 = 42
   
2. 构造残余网络N(f)，找出一个负回路C，辅助费用aw = -1（回路费用和1+1-3 = -1），环流量 = 3(残余容量所能承载的最大值，回路残余容量分别为3、3、5)，圈流h = 3 * -1 = -3
   
3. 更新流f1 = f + h，w(f1) = 42 - 3 = 39
   

算法

伪代码

1. 调用一次最大流算法，求v0的一个可行流f；若最大流小于v0，则输出“无可行流”结束算法
2. 构造N(f)
3. 用Floyd算法检测N(f)中是否存在负回路，若没有则输出f结束算法
4. 令d←min{ac(i, j)，<i, j> ∈ E(C)}  //hc的环流量为d
5. 若<i, j> ∈ E， 令f(i, j) ← f(i, j) + d；<j, i> ∈ E， 令f(j, i) ← f(j, i) - d
6. 重复步骤2