理解树与二叉树的基本概念及操作-优快云博客

1、节点拥有的子树数称为节点的度（degree）。度为0的节点称为叶节点（leaf）或终端节点；

度不为0的节点称为非终端节点或分支节点。除根节点之外，分支节点也称为内部节点。树的度是

树内各节点的度的最大值。

2、节点间关系：节点的子树的根称为该节点的孩子（child），该节点称为孩子的双亲（parent）。

同一个双亲的孩子间互称兄弟（Sibling）。节点的祖先是从根到该节点所经分支上的所有节点。

以某节点为根的字数中任意节点都称为该节点的子孙。。。。。。

3、节点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的孩子为第二层，根的孩子的孩子在第三层，

以此类推……树中节点的最大层次称为树的深度或高度。如果将树中节点的各子树看成从左至右是

有次序的不能交换的，则称该树是有序树，否则称为无序树。森林是m（m>=0）棵不想交的

树的集合；对树中每个节点而言，其子树的集合即为森林。

/*********双亲表示法**********/
/*树的双亲表示法节点结构定义*/
const MaxTreeSize 100
typedef int telmtp;	//树节点的数据类型
typedef struct PTNode//节点结构
{
	telmtp data;	//节点数据
	int parent;	//双亲位置(指针)
}PTNode;
typedef struct	//树结构
{
	PTNode nodes[MaxTreeSize];//节点数组
	int r,n;	//根的位置和节点数
}PTree;
/*********孩子表示法**********/
//也称为多重链表表示法
/*树的孩子表示法结构定义*/
const MaxTreeSize 100
typedef struct CTNode//孩子节点
{
	int child;
	struct CTNode *next;
}*ChildPtr;
typedef struct //表头结构
{
	telmtp data;
	ChildPtr firstchild;
}CTBox;
typedef struct	//树结构
{
	CTBox nodes[MaxTreeSize];//节点数组
	int r,n;	//根的位置和节点数
}CTree;
/*******孩子兄弟表示法*******/
//设置两个指针，分别指向该节点的第一个孩子和此节点的右兄弟
typedef struct CSNode
{
	telmtp data;
	struct CSNode *firstchild,*rightsib;
}CSNode,*CSTree;

4、二叉树

· 每个节点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的节点

· 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。

· 即使树中某节点只有一颗子树，也要区分是左子树还是右子树。

· 斜树：所有节点都只有左子树的称为左斜树，所有节点都只有右子树的称为右斜树，统称斜树

· 满二叉树：所有节点都有两颗子树，除叶节点。

· 完全二叉树：节点序号连续（从左到右，到最后一层次最后一节点，只有左叶节点或者有两叶节点，不可能只有右节点）。

二叉树的性质：

①二叉树在第 i 层上至多有2^(i-1)个节点。

②深度为 k 的二叉树最多有2^k-1个节点。

③对于任何一棵二叉树，端节点总数为n0，度为2的节点数为n2，则n0=n2+1

④具有n个节点的完全二叉树深度为[log(2)n+1].

⑤如果对一刻有n个节点的完全二叉树（其深度为[log(2)n+1]）的节点按层序编号

（从第一层到第[log(2)n]+1层，每层从左到右），对任一节点i（1<=i<=n）有：

· 如果i=1，则节点i是二叉树的根；如果i>1，其双亲为节点[i/2]。

· 如果2i>n，则节点i无左孩子(节点i为叶子节点)；否则其左孩子是节点2i。

· 如果2i+1>n，则节点i无右孩子；否则其右孩子是节点2i+1。

/*******二叉树的存储结构*******/
/*顺序存储结构*/
//该结构一般用于完全二叉树，不然有些极端的二叉树会造成空间浪费
。。。。。。。。。。。。。
这个。。就是把二叉树各节点用数组表示出来。。。
/*二叉链表*/
//二叉树的二叉链表节点结构定义
typedef struct BiTNode//节点结构
{
	telmtp data;	//节点数据
	struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;

5、遍历二叉树
指的是从根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有节点，使得每个节点被访问一次
且仅被访问一次。
①前序遍历：规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根节点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。

//前序遍历第归算法
void preOrderTraverse(BiTree T)
{
	if(T==NULL)
		return;
	printf("%c",T->data);//显示节点数据，可以更改为其它对节点操作、
	preOrderTraverse(T->lchild);//再先序遍历左子树
	preOrderTraverse(T->rchild);//最后先序遍历右子树
}

②中序遍历：规则是若树为空，则空操作返回，否则从根节点开始，中序遍历根节点左子树，然后是访问根节点，最后中序遍历右子树。

//中序遍历第归算法
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
	if(T==NULL)
		return;
	InOrderTraverse(T->lchild);//中序遍历左子树
	printf("%c",T->data);	//显示节点数据，可以更改为其它对节点的操作
	InOrderTraverse(T->rchild;)//最后中序遍历右子树
}

③后序遍历：若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后节点方式遍历访问左右子树，最后访问根节点。

//后序遍历算法
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
	if(T==NULL)
		return;
	PostOrderTraverse(T->lchild);//先后序遍历左子树
	PostOrderTraverse(T->rchild);//再后序遍历右子树
	printf("%c",T->data);	//显示节点数据，可以更改为其它对节点的操作
}

④层序遍历：若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，从上而下逐层遍历，同一层中，按从左到右顺序对节点逐个访问。

6、二叉树的建立

void CreteBiTree(BiTree *T)
{
	telmtp ch;
	scanf("%c",&ch);
	if(ch=='#')
		*T=NULL;
	else
	{
		*T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
		if(!*T)
			exit(OVERFLOW);
		(*T)->data=ch;//生成根节点
		CreateBiTree(&(*T->lchild));//构造左子树
		CreateBiTree(&(*T->rchild));//构造右子树
	}
}

7、线索二叉树
把指向前驱和后继的指针称为线索，加上线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树就称为线索二叉树。线索二叉树不仅节省了空间还可以减少遍历数，降低时间复杂度。

/*二叉树的二叉线索存储结构定义*/
//Link==0表示指向左右孩子指针
//Thread==1表示指向前驱或者后继的线索
//二叉线索存储节点结构
typedef enum{Link,Thread} PointerTag;
typedef struct BiThrNode	//二叉线索存储节点结构
{
	telmtp data;	//节点数据
	struct BiThrNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
	PointerTag LTag;
	PointerTag TTag;	//左右标志
}BiThrNode,*BiThrTree;
/*例子：中序遍历线索化递归函数*/
BiThrTree pre;	//全局变量，始终指向刚刚访问过的节点
//中序遍历进行中序线索化
void InThreading(BiThrTree p)
{
	if(p)
	{
		InThreeding(p->lchild);//第归左子树线索化
		if(!p->lchild)	//没有左孩子
		{
			p->LTag=Thread;	//线索前驱
			p->lchild=pre;	//左孩子指针指向前驱
		}
		if(!pre->rchild)	//前驱没有右孩子
		{
			pre->RTag=Thread;	//后继线索
			pre->rchild=p;	//前驱右孩子指针指向后继(当前节点p)
		}
		pre=p;
		InThreading(p->rchild);//递归右子树线索化
	}
}

8、树转化为二叉树
①、所有兄弟节点之间加一条线
②、只保留连接的横线和长子的线
③、树自然下垂
森林转化为二叉树
①每棵树转化为二叉树
②第一棵树不动，从第二棵树开始，依次把后一根二叉树作为第一棵二叉树的右孩子，
用线连接起来，所有二叉树连接起来得到由森林转化的二叉树。
二叉树转换为树
①加线，左孩子的n个右孩子节点都作为此节点的孩子。将该节点与这些右孩子节点用线连接起来。
②去线：删除原二叉树中所有节点与其右孩子节点的连线。
③层次调整。。。自然下垂。。
二叉树转化为森林
①去线：从根节点寻找右孩子去线
②连线：把去线后的几个二叉树的右孩子连到新分出来的根节点还原。
9、赫夫曼树及其应用
……再见。