Python数字信号处理之最佳等波纹滤波器阶数估计原理_python 怎么求等波纹最佳逼近fir滤波器的阶次-优快云博客

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Matlab中的阶数估计函数

在MATLAB中，使用firpmord函数可以估算等波纹FIR滤波器的最小阶数。该方法基于Parks-McClellan算法，通过通带和阻带的频率边界、幅度响应及允许的最大误差来自动计算参数。

rp = 3;           % Passband ripple in dB 
rs = 40;          % Stopband ripple in dB
fs = 2000;        % Sampling frequency
f = [500 600];    % Cutoff frequencies
a = [1 0];        % Desired amplitudes
dev = [(10^(rp/20)-1)/(10^(rp/20)+1) 10^(-rs/20)]; 
[n,fo,ao,w] = firpmord(f,a,dev,fs);
b = firpm(n,fo,ao,w);
freqz(b,1,1024,fs)
title('Lowpass Filter Designed to Specifications')

输入参数：f（频率边界），a（幅度），dev（误差），fs（采样频率，可选）
输出参数：n（估算的阶数），fo（归一化频率边界），ao（幅度响应），w（加权系数）

阶数估计公式

对于给定的通带波纹大小xdB，阻带衰减
在这里插入图片描述

注意，上述几个值不是独立得，任意4个值就能确定5个。用于预测所需滤波器长度的公式清楚地表明了这一点。Kaiser开发了以下近似关系来估计满足规范的滤波器长度：

$\approx \frac{-20\log_{10}(\sqrt{\delta_p\delta_s})-13}{14.6\Delta F}+1$

其中 $\begin{aligned}\Delta F = (\omega_s - \omega_p) / (2\pi)\end{aligned}$ ，即过渡带带宽。Herrmann等人[3]给出了一个更准确的公式

$\approx \frac{D_{\infty}(\delta_p, \delta_s) - f(\delta_p, \delta_s)(\Delta F)^2}{\Delta F} + 1$

其中：

$\begin{aligned}\\D_{\infty}(\delta_p, \delta_s) &= (0.005309 (\log_{10} \delta_p)^2 + 0.07114 \log_{10} \delta_p - 0.4761) \log_{10} \delta_s \\\\&- (0.00266 (\log_{10} \delta_p)^2 + 0.5941 \log_{10} \delta_p + 0.4278),\\\end{aligned}$

$f(\delta_{p},\delta_{s})=11.01217+0.51244(\log_{10}\delta_{p}-\log_{10}\delta_{s})$

这些公式假设δs<δp。否则，必须交换δp和δs。该公式在信号处理工具箱中的Matlab函数中实现。

请注意，上述估计公式都表明滤波器长度N和过渡宽度∆F成反比（对于（16），当 $\Delta F$ 变为0时）。这与最大平坦对称滤波器（maximally flat symmetric filters）的对应关系形成鲜明对比。对于具有固定δp和δs的等波纹滤波器，∆F减小为1/N；而对于最大平坦滤波器，∆F减小为 $1/\sqrt{N}$ 。