43、3D 人脸识别技术：原理、挑战与未来展望

3D 人脸识别技术：原理、挑战与未来展望

1. 不变 3D 人脸识别的表情建模

1.1 基于等距映射的方法

Bronstein 等人提出了一种通过将面部表情建模为表面等距映射（即弯曲但不拉伸）来实现表情不变的人脸识别方法。该方法将面部表面视为黎曼几何中的可变形对象，假设面部表面的内在几何结构在不同表情下保持不变，那么面部表面的等距不变表示也将具有相同的特性。

具体操作步骤如下：
1. 测量测地距离 ：对于离散形式的面部表面，由有限数量的样本点组成，使用快速行进方法（FMM）的变体测量点之间的测地距离，并将其描述为矩阵 D。
2. 等距嵌入 ：将表面等距嵌入到低维空间中，通过测量面部表面上各点之间的测地距离，然后使用多维缩放（MDS）进行嵌入，构建面部的计算高效不变表示。
3. 最小化嵌入误差 ：由于实际中理想的等距嵌入不存在，因此通过最小化嵌入误差来寻找近似等距的嵌入。嵌入误差公式为：
[
\varepsilon(X’; D, W) \equiv \sum_{i<j} w_{ij} (d’ {ij}(X’) - d {ij})^2
]
其中，(d’ {ij}) 和 (d {ij}) 分别是嵌入空间和原始空间中两点之间的距离，(X’ = (x_1, x_2, …, x_N)) 是 (M_m) 中参数坐标的 (N\times m) 矩阵，(W = (w_{ij})) 是对称权重矩阵，用于确定所有点对之间距离对总误差的相对贡献。可以使用梯度下降法来最小