一只兔子对于树链剖分的理解

树链剖分是做甚的？

某个早上，一只兔子沿一条不规则的曲线冲过来，问了另一只兔子这个问题。
这只兔子当场开始转圈（这是它的一种癖好）。
兔子新的一天开始了…

0

树链剖分？什么鬼？
不太懂的小兔子向老兔子（场外观众）求援了。
“咳咳，顾名思义，树链剖分嘛，就是把树剖分成链……”
“这不废话吗？”
“……剖分成若干条链，然后把每条链扔进数据结构里维护……”
“等等树链剖分是干吗的？”
“……以解决如把一棵树上同时增减节点x到节点y的权值之类的问题……”
“……”
(太给力了，你的回答完美的解决了我的问题？)（某熊乱入，惊散兔子）

1

树链剖分有俩个东东
重边 轻边
重边：比较重的那边
轻边：比较轻的那边
嗯，老兔子喝了点伏特加（然而并不是广告）（推）
size(x)：以节点x为根的子树的节点个数
重边：节点x与其有最大的size值的那个儿子之间的边
轻边：除了重边外的边全是轻边
“为什么要这样做？”
（老兔子爬起）“Just for fun.啊，不是不是为为为为了使链的数目尽量少，省事。”（又自己摔倒）
“好像有道理…”

于是就有了这两个性质
(1)轻边(u,v)中，size(v)<=size(u)/2
(2)从根到某一点的路径上，轻边、重边条数不超过log n。

2

重边轻边好分，不过怎么连成链呢？
我们把重边连起来：从根节点开始，沿着重边往下找，拉成重链，不在这条重链上？那就从这个节点再往下拉一条。
Talking is easy.Show me the…picture.

3

以下是一些数组

• 之前的size[]数组
• 为了区分重边轻边，我们需要ch[]保存重儿子
• 当然有儿子就有爹——fa[]数组
• 为了区分边所属的链，我们需要top[]数组，保存该节点的所在链的顶端节点
• 为了防止搞混编号，我们需要tid[]数组，保存树中每个节点剖分后的新编号；zrank[]数组，保存当前节点在线段树中的位置
• 嗯我们还需要一个记录深度的dep[]数组，原因…就不用说了…

4

老兔子：”让我翻出70年的雪碧，啊不是15年的代码”

int point[MAX_N],size[MAX_N],top[MAX_N],ch[MAX_N];
int deep[MAX_N],tid[MAX_N],zrank[MAX_N],fa[MAX_N];
int head[MAX_N],to[2*MAX_N],znext[2*MAX_N],edge;//链式前向星

void zinit() {
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(ch,-1,sizeof(ch));
    num=0;edge=0;
}

void add_edge(int u,int v) {
    to[edge]=v,znext[edge]=head[u],head[u]=edge++;
    to[edge]=u,znext[edge]=head[v],head[v]=edge++;
}

void dfs1(int u,int pa,int d) {
    deep[u]=d;
    fa[u]=pa;
    size[u]=1;
    for(int i=head[u];~i;i=znext[i]) {
        int v=to[i];
        if(v!=pa) {
            dfs1(v,u,d+1);
            size[u]+=size[v];
            if(ch[u]==-1||size[v]>size[ch[u]])
                ch[u]=v;
        }
    }
}

void dfs2(int u,int tp) {
    top[u]=tp;
    tid[u]=++num;
    zrank[tid[u]]=u;
    if(ch[u]==-1) return;
    dfs2(ch[u],tp);
    for(int i=head[u];~i;i=znext[i]) {
        int v=to[i];
        if(v!=ch[u]&&v!=fa[u])
            dfs2(v,v);
    }
}