HDU2086 A1=？

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数学归纳法

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该博客探讨了一种利用数学归纳法和编程来解决HDU2086方程的问题。博主首先通过递归关系推导出一般情况下A1的表达式，然后通过归纳法证明了这个结论。此外，还提供了一种通过累加Ci的方法求解A1，并给出了C++代码实现。最后，博主提供了具体的计算公式来直接计算A1的值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

有如下方程：A_i = (A_i-1 + A_i+1)/2 - C_i (i = 1, 2, 3, .... n).
若给出A₀, A_n+1, 和 C₁, C₂, .....C_n.
请编程计算A₁ = ?

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2086

方法1：

数学归纳法

想办法让A0和An+1有联系

	可由已经给出的函数，推导出
	n=3;4A1=3A0+A4-6C1-4C2-2C3
	n=2;3A1=2A0+A3-4C1-2C2
	n=1;2A1=A0+A2-2C1

	猜测：n=k时，(k+1)*A1=k*A0-2(k*C1+(k-1)*C2+...+Ck)	数学归纳证明
方法2：
	因为：Ai=(Ai-1+Ai+1)/2 - Ci, 
	      A1=(A0  +A2  )/2 - C1;
	      A2=(A1  +  A3)/2 - C2 , ...
	=>    A1+A2 = (A0+A2+A1+A3)/2 - (C1+C2)
	=>    A1+A2 =  A0+A3 - 2(C1+C2) 
	同理可得：
	      A1+A1 =  A0+A2 - 2(C1) 
	      A1+A2 =  A0+A3 - 2(C1+C2)
	      A1+A3 =  A0+A4 - 2(C1+C2+C3)
	      A1+A4 =  A0+A5 - 2(C1+C2+C3+C4)
	      ...
	      A1+An = A0+An+1 - 2(C1+C2+...+Cn)
	----------------------------------------------------- 左右求和
     (n+1)A1+(A2+A3+...+An) = nA0 +(A2+A3+...+An) + An+1 - 2(nC1+(n-1)C2+...+2Cn-1+Cn)


	=>   (n+1)A1 = nA0 + An+1 - 2(nC1+(n-1)C2+...+2Cn-1+Cn)


	=>   A1 = [nA0 + An+1 - 2(nC1+(n-1)C2+...+2Cn-1+Cn)]/(n+1)
代码如下：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int main()
{
	int n,i;
	double c[3005],a[3005],ans,sum;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		sum=0;
		scanf("%lf%lf",&a[0],&a[n+1]);
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%lf",&c[i]);
			sum+=(n+1-i)*c[i];
		}
		ans=(n*a[0]+a[n+1]-2*sum)/(n+1);
		printf("%.2lf\n",ans);		
	}
	return 0;
}