51nod 1119 机器人走方格 V2

最新推荐文章于 2019-09-14 10:14:55 发布

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#快速幂 #数论 #51nod #ACM

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本文介绍了一个经典的组合数学问题，即计算机器人从左上角到右下角的不同路径数量。使用了费马小定理和快速幂算法来解决带模除法问题，并提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1119

题目：

M * N的方格，一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10^9 + 7的结果。

Input

第1行，2个数M,N，中间用空格隔开。（2 <= m,n <= 1000000)

Output

输出走法的数量 Mod 10^9 + 7。

求组合数C(n+m-2，n-1)%Mod。带模除法用费马小定理：

费马小定理：假如p是素数，且a与p互质，那么a^(p-1) = 1 (mod p)。

带模的除法：求 a / b = x (mod M)
只要 M 是一个素数，而且 b 不是 M 的倍数，就可以用一个逆元整数 b’，通过 a / b = a * b' (mod M)，来以乘换除。
费马小定理说，对于素数 M 任意不是 M 的倍数的 b，都有：b ^ (M-1) = 1 (mod M)
于是可以拆成：b * b ^ (M-2) = 1 (mod M)
于是：a / b = a / b * (b * b ^ (M-2)) = a * (b ^ (M-2)) (mod M)
也就是说我们要求的逆元就是 b ^ (M-2) (mod M)！ ——（用快速幂可以求出）

#include <iostream>
#include<bits/stdc++.h>
//#define MOD 1000000007
#define LL long long
using namespace std;

const LL MOD=1000000007;

LL f[2200000];

void init()
{
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=2000000;i++)
        f[i]=(f[i-1]*i)%MOD;
}

LL pow(LL n, LL m)
{
    LL ans=1;
    while(m)
    {
        if(m&1) ans=(ans*n)%MOD;
        m=m>>1;
        n=(n*n)%MOD;
    }
    return ans;
}

LL solve(LL n,LL m)
{
    long long ans=f[m+n-2];
    ans=(ans*pow(f[m-1],MOD-2))%MOD;
    ans=(ans*pow(f[n-1],MOD-2))%MOD;
    return ans;
}

int main()
{
     init();
     LL n,m;
     scanf("%lld%lld",&n,&m);
     cout<<solve(n,m)<<endl;
}