leetcode-动态规划：Triangle

题目介绍

在一个三角形中，找到从上到下的最短路径的长度。每次移动只能从它上面行的相邻因素移动到下面行的元素。例如如下的三角形，从上到下的最短路径为2+3+5+1=11。

[2]
[3,4]
[6,5,7]
[4,1,8,3]

解题思路

• 动态规划：$O(mn)$空间复杂度
  
  • $i,j$表示三角形的行数和列数，$dp[i][j]$表示从顶部到第$i$行，第$j$列路径值。
  • $i=0,dp[0][0]=triangle[0][0]$
  • $1<i<=triangle.size()-1,1=<j<=triangle[i].size() - 2$，$dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j])+triangle[i][j]$,
  • 这种算法的空间复杂度为$O(mn)$，因为每行信息都需要记录在$dp[i][j]$中
• 动态规划：$O(n)$空间复杂度
  
  • 在每次计算dp中的第$j$列的信息时从后向前计算，就可以用O(n)的空间复杂度了，因为计算第i行的距离时只和第i-1行的信息有关系，与前面的其它行是没有关系的。

代码

• $O(mn)$空间复杂度的代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<vector>
using namespace std;

int minmumTotal(vector<vector<int> >& triangle)
{
    vector<vector<int> > mark;
    mark.push_back(triangle[0]);
    for(int i = 1; i < triangle.size(); i++)
    {
        vector<int> t;
        vector<int> tmp = triangle[i];
        t.push_back(mark[i - 1][0] + tmp[0]);
        for(int j = 1; j < tmp.size() - 1; j++)
        {
            t.push_back((mark[i - 1][j - 1] > mark[i - 1][j] ? mark[i - 1][j] : mark[i - 1][j - 1]) + tmp[j]);
        }
        t.push_back(mark[i - 1][tmp.size() - 2] + tmp[tmp.size() - 1]);
        mark.push_back(t);
    }
    vector<int> r = mark[mark.size() - 1];
    int min = 1000000;
    for(int i = 0; i < r.size(); i++)
        if(r[i] < min)
            min = r[i];
    return min;
}

int main(int argc, char** argv)
{
    int i1[1] = {2};
    int i2[2] = {3, 4};
    int i3[3] = {6, 5, 7};
    int i4[4] = {4, 1, 8, 3};
    vector<int> r1(i1, i1 + 1);
    vector<int> r2(i2, i2 + 2);
    vector<int> r3(i3, i3 + 3);
    vector<int> r4(i4, i4 + 4);
    vector<vector<int> > triangle;
    triangle.push_back(r1); triangle.push_back(r2); triangle.push_back(r3); triangle.push_back(r4);
    int r = minmumTotal(triangle);
    printf("min path = %d\n", r);
    return 0;
}

• $O(n)$空间复杂度的代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<vector>
using namespace std;
int minmumTotal_Update(vector<vector<int> >& triangle)
{
    vector<int> mark(triangle[triangle.size() - 1].size(), 0);
    mark[0] = triangle[0][0];
    printf("%d\n", mark[0]);
    for(int i = 1; i < triangle.size(); i++)
    {
        vector<int> tmp = triangle[i];
        for(int j = tmp.size() - 1; j >= 0; j--)
        {
            if(j == tmp.size() - 1)
                mark[j] = mark[j - 1] + triangle[i][j];
            else if(j == 0)
                mark[j] += triangle[i][j];
            else
            {
                int m = mark[j - 1] > mark[j] ? mark[j] : mark[j - 1];
                mark[j] = m + triangle[i][j];
            }
            printf("%d ", mark[j]);
        }   
        printf("\n");
    }   
    int min = 1000000;
    for(int i = 0; i < mark.size(); i++)
        if(mark[i] < min) 
            min = mark[i];
    return min; 
}   
int main(int argc, char** argv)
{
    int i1[1] = {2};
    int i2[2] = {3, 4};
    int i3[3] = {6, 5, 7};
    int i4[4] = {4, 1, 8, 3};
    vector<int> r1(i1, i1 + 1);
    vector<int> r2(i2, i2 + 2);
    vector<int> r3(i3, i3 + 3);
    vector<int> r4(i4, i4 + 4);
    vector<vector<int> > triangle;
    triangle.push_back(r1); triangle.push_back(r2); triangle.push_back(r3); triangle.push_back(r4);
    int r = minmumTotal_Update(triangle);
    printf("min path = %d\n", r);
    return 0;
}