Buy Low, Buy Lower

最新推荐文章于 2021-10-04 18:09:24 发布

zc0074200

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分类专栏： USACO解题报告

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zc0074200/article/details/16807017

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本文探讨了如何通过动态规划解决数列中寻找最长降序子序列的问题，并详细解释了实现过程及算法逻辑。通过倒序遍历数列，利用状态转移方程计算每个元素作为起点的最长降序子序列长度及其数量，最终得到最大长度及满足条件的子序列总数。算法中特别注意了重复元素的处理，确保统计结果的准确性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：有一个大小为N的数列，数列中都是以正整数代表的价格，求最长的降序子列的长度以及个数（子列中元素的先后顺序要与原来的数列中相同，而且对于全部元素都相等的子列只能算作一个）

解题思路：

用price[0...N-1]来代表这个数列，用f[i] = j来代表以price[i]为第一个元素的最长降序子列的长度为j
初始条件f[N - 1] = 1，倒序滚雪球的过程：f[i] = max{f[j] + 1}，其中j = [i + 1, N - 1]而且price[i] > price[j]。如果没有满足条件的j，则f[i] = 1
用c[i] = j来代表以price[i]为第一个元素的最长降序子列的长度为j
初始条件为c[N - 1] = 1，倒序滚雪球的过程：c[i] = sum{c[j]}，其中j = [i + 1, N - 1]，f[i] = f[j] + 1而且price[i] > price[j]。在DP过程中要注意对重复的判断，也就是如果f[j]相同并且对应的price[j]也想同，就代表出现重复，只能算一次
遍历f[i]，找到最大的f[i]即为最长降序子列的长度。然后将这些等于最大长度的f[i]对应的c[i]加起来，在这个过程中同样要注意判断重复，方法与4中相同
最后得到的c[i]之和就是最后的结果，在处理过程中发现这个和比较大，用内置的数据类型无法表示，于是用一个长度为100的数组来保存c[i]的每一位数，相加的过程自行写一个类似竖式加法的函数就行

代码：

/*
ID: zc.rene1
LANG: C
PROG: buylow
 */

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>

int N;
int price[5000];
int f[5000];
int c[5000][100];
int visited[5000];

int result[5000];

void GetF(void)
{
    int i, j;
    int max;

    memset(f, 0, 5000 * sizeof(int));
    f[N - 1] = 1;
    for (i=N-2; i>=0; i--)
    {
	max = 1;
	for (j=i+1; j<N; j++)
	{
	    if (price[i] > price[j])
	    {
		if (f[j] + 1 > max)
		{
		    max = f[j] + 1;
		}
	    }
	}
	f[i] = max;
    }
}

int IsVisited(int dest, int len)
{
    int i;

    for (i=0; i<len; i++)
    {
	if (visited[i] == dest)
	{
	    return 1;
	}
    }
    return 0;
}

void Add(int a[100], int b[100])
{
    int i = 0, remain = 0, sum;

    while (i < 100)
    {
	sum = a[i] + b[i] + remain;
	if (sum >= 10)
	{
	    remain = 1;
	}
	else
	{
	    remain = 0;
	}
	a[i] = (sum) % 10;
	i++;
    }

}

void GetC(void)
{
    int i, j, index;
    
    memset(c, 0, 5000 * 100 * sizeof(int));
    c[N-1][0] = 1;

    for (i=N-2; i>=0; i--)
    {
	memset(visited, 0, N * sizeof(int));
	index = 0;
	for (j=i+1; j<N; j++)
	{
	    if ((f[i] == f[j] + 1) && (price[i] > price[j]))
	    {
		if (IsVisited(price[j], index))
		{
		    continue;
		}
		else
		{
		    visited[index++] = price[j];
		    Add(c[i], c[j]);
		}
	    }
	}
	if (index == 0)
	{
	    c[i][0] = 1;
	}
    }
}

int main(void)
{
    FILE *fin, *fout;
    int i, index, max_f;
    int max_c[100];

    fin = fopen("buylow.in", "r");
    fout = fopen("buylow.out", "w");

    fscanf(fin, "%d", &N);
    for (i=0; i<N; i++)
    {
	fscanf(fin, "%d", &price[i]);
    }

    GetF();
    GetC();

    max_f = -1;
    for (i=0; i<N; i++)
    {
	if (f[i] > max_f)
	{
	    max_f = f[i];
	}
    }

    memset(max_c, 0, 100 * sizeof(int));
    memset(visited, 0, N * sizeof(int));
    index = 0;
    for (i=0; i<N; i++)
    {
	if (f[i] == max_f)
	{
	    if (IsVisited(price[i], index))
	    {
		continue;
	    }
	    else
	    {
		visited[index++] = price[i];
		Add(max_c, c[i]);
	    }
	}
    }
    fprintf(fout, "%d ", max_f);

    i = 99;
    while (max_c[i] == 0)
    {
	i--;
    }

    while (i >= 0)
    { 
	fprintf(fout, "%d", max_c[i]);
	i--;
    }
    fprintf(fout, "\n");

    return 0;
}