匈牙利算法及KM算法详解

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#算法 #图论 #数据结构

于 2022-03-10 13:32:35 首次发布

文章目录

1 二分图相关概念
2 匈牙利算法求解无权二分图最大匹配
3 KM算法求解加权二分图最优匹配

1 二分图相关概念

二分图定义：
二分图又称双分图、二部图、偶图，指顶点可以分成两个不相交的集U和V(U和V皆为独立集(Independent Sets))，使得在同一个集内的顶点不相邻(没有共同边)的图。
在这里插入图片描述

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边。如图3中,1、4、5、7为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边、其他边为非匹配边。

**匹配(matching)😗*二分图的一个“匹配”是指一些边的集合，任意两条边没有公共点。例如，图3、图4中红色的边就是图2的匹配。

**最大匹配(maximum matching)：**二分图的“最大匹配”，值的是二分图的所有匹配中边数最多的匹配。图4是一个最大匹配。它包含4条匹配边。

**完美匹配(perfect matching)：**二分图的一个“完美匹配”，是指所有点都在这个匹配中的一个匹配。也就是说这个匹配里的所有边刚好经过所有点一次。图4是一个完美匹配，显然，完美匹配一定是最大匹配(完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突)。
但并非每个图都存在完美匹配。

2 匈牙利算法求解无权二分图最大匹配

2.1 相关概念

在这里插入图片描述
**交替路：**从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

**增广路：**从一个未匹配点出发，走交替路，如果以另一个未匹配点(出发的点不算)为结尾，则这条交替路称为增广路(agumenting path)。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示(图中的匹配点均用红色标出)：
在这里插入图片描述
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配(这是增广路定理)。匈牙利算法正是这么做的。

**增广路定理：**任意一个非最大匹配的匹配一定存在增广路。

匈牙利树一般由BFS构造(类似于BFS树)。从一个未匹配点出发运行BFS(唯一的限制是，必须走交替路)，直到不能再扩展为止。例如，由图7，可以得到如图8的一棵 BFS 树：
在这里插入图片描述

这棵树存在一个叶子节点为非匹配点(7 号)，但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示(顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配)。

2.2 算法原理

注意前面增广路的定义：“从一个未匹配点出发，走交替路，以另一个未匹配点为结尾”，首尾都是未匹配点，说明首尾的边都是非匹配边。而又是交替路，也就是说非匹配边比匹配边多一条。那么我们完全可以把这条增广路里的匹配边和非匹配边互换(称为“交换匹配”)，那么匹配边就会多出 1 条，实现了“增广”的意义。并且这样做并不会对其他边造成影响，也不破坏二分图的性质。

那么我们就可以一直找增广路，不断交换匹配。根据增广路定理，如果找不到了，就说明已经达到最大匹配。

同样可以证明，已经匹配的点永远不会退出匹配，只会更换匹配。

这就是匈牙利算法最核心的部分了：一直找增广路，不断交换匹配。

可能看完上面的叙述，还是有点困惑。一直找增广路，不断交换匹配到底应该怎么做？以下我举一个便于理解例子：
在这里插入图片描述
现在Boys和Girls分别是两个点集，里面的点分别是男生和女生，边表示他们之间存在“暧昧关系”。最大匹配问题相当于，假如你是红娘，可以撮合任何一对有暧昧关系的男女，那么你最多能成全多少对情侣？(数学表述：在二分图中最多能找到多少条没有公共端点的边)

现在我们来看看匈牙利算法是怎么运作的：

我们从B1看起(男女平等，从女生这边看起也是可以的)，他与G2有暧昧，那我们就先暂时把他与G2连接(注意这时只是你作为一个红娘在纸上构想，你没有真正行动，此时的安排都是暂时的)。
在这里插入图片描述
来看B2，B2也喜欢G2，这时G2已经“名花有主”了(虽然只是我们设想的)，那怎么办呢？我们倒回去看G2目前被安排的男友，是B1，B1有没有别的选项呢？有，G4，G4还没有被安排，那我们就给B1安排上G4。

我们来细看这一过程：

开始是B1——G2；

由于B2的加入，有增广路G4——B1——G2——B2；

然后交换匹配，成为G4——B1——G2——B2；

这是不是正是前面提到的一直找增广路，不断交换匹配。

我们继续，B3直接配上G1就好了，这没什么问题。至于B4，他只钟情于G4，G4目前配的是B1。B1除了G4还可以选G2，但是呢，如果B1选了G2，G2的原配B2就没得选了。我们绕了一大圈，发现B4只能注定单身了，可怜。(其实从来没被考虑过的G3更可怜)
最终结果：
在这里插入图片描述

2.3 匈牙利算法代码

//---------------------DFS---------------------------------  
#include<iostream>  
#include<memory.h>  
using namespace std;  
  
#define MAXN 10  
int graph[MAXN][MAXN];  
int match[MAXN];  
int visitX[MAXN], visitY[MAXN];  
int nx, ny;  
  
bool findPath( int u )  
{
   
     
    visitX[u] = 1;  
    for( int v=0; v<ny; v++ )  
    {
   
     
        if( !visitY[v] && graph[u][v] )  
        {
   
     
            visitY[v] = 1;  
            if( match[v] == -1 || findPath(match[v]) )  
            {
   
     
                match[v] = u;  
                return true;  
            }  
        }  
    }  
    return false;  
}  
  
int dfsHungarian()  
{