欧拉角与旋转矩阵（EIgen与书中公式的区别）

1. 欧拉角简介

1.1 定义欧拉角的关键项

  定义一个欧拉角需要确认以下几条：

1、旋转坐标系是右手坐标系还是左手坐标系。
 右手坐标系中的欧拉角逆时针旋转为正，左手系中顺时针旋转为正。
2、旋转组合方式，欧拉角共有322共计12种。
 欧拉角根据旋转方式可分为Tait-Bryan angle（也称作：Cardan angles; nautical angles; heading、elevation、bank; yaw、pitch、roll）和 Proper/classic Euler angle两种。
 Tait-Bryan angle包括:

z-y-x//即为zyx欧拉角，先绕z轴旋转，再绕y轴旋转，再绕x轴旋转，zyx欧拉角是导航和slam技术中常用的欧拉角，
此外，Tait-Bryan angle还包括以下欧拉角：
z-x-y, y-x-z, y-z-x, x-y-z, x-z-y

 Proper/classic Euler angle包括:

z-x-z，x-y-x，y-z-y，z-y-z, x-z-x，y-x-y

3、点或向量旋转（主动旋转）还是坐标系旋转（被动旋转）；二者对应的旋转矩阵也有所不同。
 主动旋转是指将向量逆时针围绕旋转轴旋转，被动旋转是对坐标轴进行的逆时针旋转，相当于主动旋转的逆操作
4、定轴旋转与动轴旋转
 动轴旋转又称为内在旋转，内在旋转每次旋转围绕的轴是上次旋转之后坐标系的某个轴，定轴旋转又称为外在旋转，外在旋转每次旋转的轴是固定坐标系中的轴。内在旋转与外在旋转的转换关系：互换第一次和第三次旋转的位置则两者结果相同

2 正常坐标旋转

正常的旋转如上图所示，在世界坐标系中有一个点P_w1(1,1,0)T, $\theta$表示的是从世界坐标系w1到世界坐标系w2旋转的角度，则可以得到，旋转后的P_w2为 ( 2 , 0 , 0 ) T (\sqrt2,0,0)^T (2 ​,0,0)