OpenGL学习之路11----相机空间

代码放在github上

本文根据教程：ogldev进行扩充学习，一步步从零开始，记录学习历程

之前已经学习了怎么将物体在3维空间里自由地缩放、旋转和平移，博客链接如下：
OpenGL学习之路6—-平移，旋转和缩放变换

OpenGL学习之路9—-混合变换

也学习怎么把三维世界表现在我们屏幕这个2维平面上，博客链接如下：

OpenGL学习之路10—-透视投影

但是我们发现了一个问题，我们默认的视点(就是我们观察的地点)都是在原点并且看向Z轴的正方向，我们希望能够从三维空间的任意地方观察我们的物体，这次我们就学习如何任意移动我们的观察地点(称作相机)

一、数学基础

1.1 点积

1.1.1 几何定义：

设二维空间内有两个向量a和b，它们的夹角为φ(0≤φ≥π)，则点积为：

a · b= ||a|| * ||b|| * cosφ

• 向量a和b点积的值即为a的长度乘b的长度乘夹角的余弦值(这个定义只对二维和三维空间有效)
• 如果a和b向量都为单位向量，则点积的结果为夹角的余弦值

定义向量a到向量b的投影为

a -> b

示意图如下：

则可以推出以下公式：

a -> b = ||a|| * cosφ = a · b / ||b||

可以看到如果b是单位向量，则点积即是向量a到向量b的投影

1.1.2 代数定义

二维空间中的两个向量a=(xa,ya)和b=(xb,yb),根据

X · X = Y · Y = 1
X · Y = 0

可以得到a和b的点积为：

a · b = (xaX+yaY) · (xbX+ybY)
      = xaxb(X·X)+xayb(X·Y)+xbya(Y·X)+yayb(Y·Y)
      = xaxb + yayb

可以推出三维空间a=(xa,ya,za),b=(xb,yb,zb)向量的点积为

a · b = xaxb + yayb + zazb

1.2 叉积

1.2.1 叉积定义

叉积定义为:

a × b = a*b*sinθ

• 叉积a × b返回一个三维向量，该向量与另外两个向量a和b都正交长度为：

||a × b|| = ||a|| * ||b|| * sinθ 

三维向量a=(xa,xb,xz),b=(xb,yb,zb)的叉积为

a∗b=(xaX+yaY+zaZ)∗(xbX+ybY+zbZ)=(yazb−za