计算机理论体系知识点概括

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计算理论重点——Theory of Computation 一个学期的计算理论课程已经结束，给我的感觉吧，计算理论是一门计算机不得不学，学了短期又没用，但是可以培养一些逻辑思维的课程。其最关注的问题是什么是可计算性，什么问题可计算，问题之间的映射/归约，计算代价及难易。在分析问题和检验模型计算能力之前需要掌握的工具是形式语言、图灵机等。本文主要对计算理论中的重点进行了总结，总结了一些定理和理解上容易有障碍的知识点，但是里面还有一些点没有提到，比如NFA、D 阅读详情

来源：【北京大学】理论计算机科学基础（全70讲）_哔哩哔哩_bilibili

目录

第一章  NFA和DFA

DFA的定义

 正则语言/运算

NFA相关定义

 NFA和DFA的等价性

 正则表达式

正则表达式与自动机等价性（包括GNFA）

泵引理

 第二章：上下文无关语言

 CFG（Context Free Grammar）

 文法的歧义性

 CNF（Chomsky Normal Form）

PDA

PDA与CFG等价性

CFL的泵引理

 第三章 图灵机

单带图灵机

 图灵机的各种等价变形

 枚举器和识别器

算法的定义（丘奇-图灵论题）

 图灵机算法的描述（开始抽象）

 递归定理及其证明（开始懵逼）

 递归定理的应用（通用机）

 第四章 （不）可计算问题

关于DFA、正则语言的可计算问题

 关于CFL的可计算问题

 不可计算的问题

 图灵机可判定性问题（对角化过程）

一个非图灵可识别语言

 不可判定性总结

 图灵机的不可计算问题

 LBA（Linear Bounded Automata）（计算历史的归约）

 波斯特PCP问题（归约的例子）

 归约的定义、性质和用途

 Rice定理和总结

 第五章 时间复杂性（从这里开始与视频可能缺斤少两章节）

函数的阶

 时间复杂性和时间复杂类

 P类（PATH、RELPRIME、CFL）

 NP类（HAMPATH、COMPOSITES）

杂

 第六章 多项式时间归约

 库克定理

 NP完全

第一章  NFA和DFA

DFA的定义

 正则语言/运算

 

NFA相关定义

 NFA和DFA的等价性

  • 定理：每台NFA都有等价的DFA
  • 推论：一个语言是正则的，当且仅当有一台NFA识别它

 正则表达式

描述模式的手段

 恒等式

正则表达式与自动机等价性（包括GNFA）

泵引理

 

证明泵引理：鸽巢原理（抽屉原理）

 

 例子：

 第二章：上下文无关语言

 CFG（Context Free Grammar）

 

  •  定理：CFL对并运算封闭

（有点没看懂不知道到怎么概括【北京大学】理论计算机科学基础（全70讲）_哔哩哔哩_bilibili）

 文法的歧义性

 CNF（Chomsky Normal Form）

 

  •  定理：任何CFG都有等价的CNF
  • CFG转CNF过程

    •  

PDA

 

PDA与CFG等价性

CFL的泵引理

  • CFL对交不封闭
  • CFL对补不封闭
  • CFL对正则运算封闭

 例子：

1. 

 

 2.

 证明比较长【北京大学】理论计算机科学基础（全70讲）_哔哩哔哩_bilibili  4：36

3.

 

 第三章 图灵机

单带图灵机

 

 

 例子：【北京大学】理论计算机科学基础（全70讲）_哔哩哔哩_bilibili

 图灵机的各种等价变形

  • 定理：每个多带TM都有等价单带TM
  • 推论：图灵可识别当且仅当可用多带图灵机识别
  • 定理：每个NTM都有等价DTM
  • 推论：图灵可识别当且仅当可用非确定性图灵机识别
  • 推论：图灵可判定当且仅当可用非确定性图灵机判定

 枚举器和识别器

  • 定理：图灵可识别等价于可枚举

算法的定义（丘奇-图灵论题）

 图灵机算法的描述（开始抽象）

 

洪水算法

 

 递归定理及其证明（开始懵逼）

  • 引理：

 

 

 递归定理的应用（通用机）

 【北京大学】理论计算机科学基础（全70讲）_哔哩哔哩_bilibili

极小图灵机，通用机，

 

 第四章 （不）可计算问题

关于DFA、正则语言的可计算问题

DFA接受性问题

 

 正则表达式派生性问题

 DFA空性问题

 

DFA等价性问题 

 

 关于CFL的可计算问题

 不可计算的问题

 

  •  有理数集可数
  • 定理：实数集不可数（对角化）
  • 推论：存在非图灵可识别语言

 图灵机可判定性问题（对角化过程）

【北京大学】理论计算机科学基础（全70讲）_哔哩哔哩_bilibili

一个非图灵可识别语言

 

 

 不可判定性总结

 

 图灵机的不可计算问题

 

 

 

 

 LBA（Linear Bounded Automata）（计算历史的归约）

【北京大学】理论计算机科学基础（全70讲）_哔哩哔哩_bilibili

 

 

 

 

 波斯特PCP问题（归约的例子）

 

 归约的定义、性质和用途

【北京大学】理论计算机科学基础（全70讲）_哔哩哔哩_bilibili

 

 

 

 

 

 Rice定理和总结

【北京大学】理论计算机科学基础（全70讲）_哔哩哔哩_bilibili

 

 

 

 

 第五章 时间复杂性（从这里开始与视频可能缺斤少两章节）

函数的阶

 

 时间复杂性和时间复杂类

【北京大学】理论计算机科学基础（全70讲）_哔哩哔哩_bilibili

 

 

 P类（PATH、RELPRIME、CFL）

 

互素问题

 NP类（HAMPATH、COMPOSITES）

 

 

 

 

 

杂

 

 

 

 

 第六章 多项式时间归约

 

 

 

 

 

 库克定理

 NP完全

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         

  

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