动态规划-最大子矩阵

描述

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。

比如，如下4 * 4的矩阵

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

的最大子矩阵是

9 2
-4 1
-1 8

这个子矩阵的大小是15。

输入

输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。

输出

输出最大子矩阵的大小。

样例输入

4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 -1

8  0 -2

样例输出

15

 

一般的做法依然是枚举：枚举子矩阵最上和最下的行以及最左和最右的列，但仅是这样就已经是O(N^4) 的复杂度了。对于N <= 100 以及1s 的时限来说，这样的做法是不能够接受的。

如何根据子矩阵的特性来解决此题？

正确解法：每次枚举子矩阵最上的行u 和最下的行 d，再把这个子矩阵每一列的值相加，压缩成一个一维的数组，对这个数组求其最大子段和，这样就相当于把所有最上的行为u 并且最下的行为 d 的最大子矩阵和求出来了。

 

 

<strong>下面是我的ac代码：</strong>

#include<iostream>
using namespace std;
#define N 103
int fun(int b[N],int n)
{
    int i,max,c;
    c=0;
    max=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(c>0)c=c+b[i];
        else c=b[i];
        if(max<c)max=c;
    }
    return max;
}
int main()
{
    int i,j,n,max,sum,k;
    int  a[N][N],b[N];
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    max=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            b[j]=0;
        }
        for(j=i;j<=n;j++)
        {
            for(k=1;k<=n;k++)
            {
                b[k]+=a[j][k];
            }
            sum=fun(b,n);
            if(max<sum)max=sum;
        }
    }
    cout<<max;
    return 0;
}<iostream>
using namespace std;
#define N 103
int fun(int b[N],int n)
{
    int i,max,c;
    c=0;
    max=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(c>0)c=c+b[i];
        else c=b[i];
        if(max<c)max=c;
    }
    return max;
}
int main()
{
    int i,j,n,max,sum,k;
    int  a[N][N],b[N];
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    max=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            b[j]=0;
        }
        for(j=i;j<=n;j++)
        {
            for(k=1;k<=n;k++)
            {
                b[k]+=a[j][k];
            }
            sum=fun(b,n);
            if(max<sum)max=sum;
        }
    }
    cout<<max;
    return 0;
}