算法导论第三章函数的增长问题研究

最新推荐文章于 2025-05-26 11:07:14 发布

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分类专栏：《算法导论》

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/z84616995z/article/details/17277733

本文探讨了算法导论中关于函数增长的问题，具体比较了lg(lg * n)与lg * (lg n)的渐进大小关系。通过实例解析，得出当n>=16时，lg(lg * n)小于lg*(lg n)。同时，文章还介绍了斐波那契数列，并证明对于i>=0，第(i+2)个斐波那契数F(i+2)大于等于φ^i，其中φ=(1+√5)/2。

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算法导论3.2-5
lg(lg * n)与lg * (lgn)哪个渐近更大些？
先看lg * n怎么定义的。lg * n=min{i>=0:lg(i)n<=1}
假设一个比宇宙原子总数目10^80还要大的数2^65536.
根据多重对数函数定义知道：
当i=1时，第一次lg得 lg2^65536=65536//书中规定log2=lg
当i=2时，第二次lg得 lg65536=lg2^16=16
当i=3时，第三次lg得 lg16=lg2^4=4
当i=4时，第三次lg得 lg4=lg2^2=2
当i=5时，第三次lg得 lg2=lg2^1=1符合定义。
所以lg *2^65536=5 符合书中结论。

n=0,1,2,4时，lg(lg * n)=lg*(lgn)
n>=16时，lg(lg * n)<lg*(lgn)成立。
例如：设n=2^65536;
再看lg(lg * n)=lg5=2.3
而lg*(lgn)=lg*65536=4
所以lg(lg * n)<lg*(lgn)。

由以上分析可知：
先进行多重取对数所得的值，然后再进行对这个值再取对数。(lg(lg * n))
要比先对此数取一次对数，然后再进行多重对数运算的渐近小(lg*(lgn))

算法导论3.2-7

斐波那契数列：0,1,1,2,3,5....
证明：对于i>=0,第(i+2)个斐波那契数满足F(i+2)>=φ^i
利用φ=(1+√5)/2 Φ=(1-√5)/2 =>F(i)=(φ^i-Φ^i)/√5
Φ是φ